Suites arithmétiques

[invite1a2d3d68]

Bonjour.

Depuis deux jours je cherche en vain, mais je n'arrive pas à de réels résultats, merci de me donner quelques pistes, je vous montre ce que j'ai fais.

SUJET
La standart company propose à ses ingénieurs deux types de contrats relatifs au paiement des primes;
Contrat type 1
Les primes sont versées à la fin de chaque année.
1ère année : 2500 dollars, puis augmentation de 300 dollars chaque année.
Contrat type 2
1semestre : 1000 dollars, puis augmentation de 100 dollars chaque semestre.

1. On notera U_n la somme perçue avec le contrat type 1 la n^ièmeannée, S_n la somme perçue le n^ièmesemestre et V_n la somme perçue avec le contrat type 2 la n^ièmeannée ≥1
U_n = 2500 + 300(n)
S_n = 2500 +300(n/2)
V_n = 1000 + 100(n)

déjà pour cette question je pense que c'est complètement faux, donc pas le peine de continuer sur quelquechose de faux, Merci de me corriger

Calculer U_n, S_n puis V_n pour n=1, 2, 3

2. démontrez que (U_n) et (S_n) sont des suites arithmétiques
3. calculez U_n, S_n puis V_n pour tout n≥1
4. quel est le contrat le plus avantageux? Préciser
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[invite07dd2471]

bonjour,

pour tes suites Un et Sn ainsi que Vn, le n ne représente pas la même chose..
Un : n est l'année
Sn : n est le semestre.. le n/2 n'a donc pas sa place ici.
Vn : n est de nouveau l'année.. pour Vn, c'est la somme des deux semestres de l'année : par exemple, V1 = S1 + S2

ensuite les calculs devraient être simple..

pour montrer que ce sont des suites arithmétiques, reporte-toi à la définition de ces suites..

et enfin, pour le contrat le plus avantageux, compare à une année donnée lequel a rapporté le plus d'argent depuis le début (je n'ai pas fait les calculs mais le coup classique est que l'un est plus avantageux au début et au bout d'un moment c'est l'autre qui le devient )

[invitef1b93a42]

Bonjour,
Pour la première question, on ne te demande pas d'exprimer en fonction de , on veut juste calculer les premières valeurs. Je pense aussi que correspond à la somme perçue le n-ième semestre avec le contrat de type 2 et non avec le contrat de type 1.
Démontrer que les suites sont arithmétqiues revient à trouver une relation avec la raison de la suite.
La troisième question est facile lorsqu'on a fait la deuxième, il faut exprimer en fonction de avec la raison qu'on a trouvé précedemment, c'est la définition de ton cours.
Pour la dernière question, il te suffit de comparer les 3 suites en faisant par exemple et de résoudre l'équation : à partir de quelle année le premier contrat est-il plus avantageux que le deuxième. Si tu ne trouves pas de solutions, tu dois alors résoudre .

[invite1a2d3d68]

pour montrer que ce sont des suites arithmétiques, reporte-toi à la définition de ces suites..

oui je la sait c'est u_n= u₀ +n_r

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1a2d3d68]

[QUOTE=Equinoxx;2366449]
Pour la première question, on ne te demande pas d'exprimer en fonction de , on veut juste calculer les premières valeurs. QUOTE]


oui, mais si on ne fait pas les expressions, on ne peut faire les calculs, non

[invite1a2d3d68]

Bonjour,
Pour la première question, on ne te demande pas d'exprimer en fonction de , on veut juste calculer les premières valeurs.

Oui, mais si on n'a pas les expressions, on ne peut pas faire les calculs, non

[invite07dd2471]

si tu comptes peu à peu.. avec une formule générale, tu peux avoir directement la n-ième année, tandis que là, tu peux compter peu à peu sans avoir de formule..

et ton Sn, pour être sûr que je n'ai pas dit de connerie, c'est le n-ième semestre avec quel contrat ?

[invite1a2d3d68]

et ton Sn, pour être sûr que je n'ai pas dit de connerie, c'est le n-ième semestre avec quel contrat ?

Bonne question, c'est exaxtement ce que je me suis demandée lorsque j'ai voulu faire les expressins de U, S et V, mais comme s'est marqué dans le sujet, on dirait que Sn va avec le contrat 1

Au fait pour mes expressions que j'ai marquée au début, elles sont fausses alors??

Encor merci =)

[invite1a2d3d68]

Alors ?

[invite07dd2471]

la deuxième est fausse..
moi perso je pense que vu qu'on parle de semestre, c'est pour le type de contrat n°2, sinon la question n'a aucun sens.. dans ce cas, on a
1000 au premier semestre (S1)
1100 au second semestre (S2) etc avec augmentation de 100 à chaque semestre ( ici n compte les semestres, pas les années !)
tu peux en déduire une formule générale pour Sn (que tu peux démontrer éventuellement par récurrence si tu as déjà vu, sinon oublie, et même ce n'est pas bien nécessaire)

passons à Vn :
la première année est composée des semestres 1 et 2 donc V1 = S1 + S2
la deuxième année est composée des semestres ? et ? donc V2 = ? + ? (je te laisse remplir)
ainsi tu peux calculer aussi les premier termes de Vn
et éventuellement en déduire le terme général de la suite

[invite1a2d3d68]

Un = 2500 + 300(n)
Sn = 1000 +100(n/2)
Vn = 2{1000 + 100(n/2) }

est ce que c'est bon?

[invite07dd2471]

non..

pour Sn, le n/2 n'aurait pas de sens, puisque diviser n par deux signifie couper ton semestre en deux, et donc changer de paye tous les 3 mois..

Sn est tout simplement égal à 1000 + 100n (si tu considères qu'il commence au semestre 0, sinon si tu appelles le premier semestre S1, alors c'est 1000 + 100(n-1), je sais pas si tu me suis )
tu peux le vérifier en regardant comme ça :
si il a 1000 au début, au bout d'un semestre, il a bien 1000 + 100
puis au bout de deux (1000 + 100) + 100 = 1000 + 2*100
puis au bout de trois (1000 + 2*100) + 100 = 1000 + 3*100
etc...

pour Vn, tout simplement, comme V1 = S1 + S2, V2 =S3 +S4, V3 = S5 + S6 etc, tu as en fait Vn = S(2n-1) + S(2n)

or d'après la formule précédente ( Sn = 1000 + 100n ) on a S(2n-1)=1000 + 100(2n-1) et S(2n)=1000 + 100*2n
d'où Vn = 1000 + 100 (2n-1) + 1000 + 100 (2n) = 1900 + 400n

tu as ta formule pour Vn

après pour le contrat le plus avantageux, tu peux "t'amuser" à voir la question de deux manière :
Déjà tu remarques qu'un contrat commence plus bas, mais ensuite augmente plus vite ( il faut comparer Un et Vn pour ça, car tu as maintenant une formule en fonction du nombre d'année pour les deux types de contrat )
tu peux alors te douter qu'au début, le contrat 1 est plus avantageux et que par la suite, ce sera le deux

reste à savoir au bout de combien de temps..

C'est là que tu peux attaquer le problème de deux manières à condition que tu aies vu comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique..

1ère manière : regarder au bout de combien de temps le contrat 2 fait toucher plus d'argent que le 1, tout simplement..

2nde manière : faire la somme de l'argent cumulé avec chacun des contrats, et regarder au bout de combien de temps (ça devrait être plus long) le contrat 2 aura fait gagner plus d'argent que le contrat 1 au total

l'idée est que même si le contrat 2 devient plus lucratif à un certain moment que le 1, il lui faudra quand même un certain temps pour rattraper le retard accumulé.

Je ne sais pas si j'ai été clair.

[invite1a2d3d68]

Si c'est clair, merci

Donc en fait c'est le contrat 2 qui est le plus avantageux, même si cela prendra plus de temps.
Pour cela il faut que je fasse la somme, pour Un et Vn, c'est ça?
formule : S = (nbr de termes)×{(1er terme + dernier terme)/2}

Dons c'est d'après le résultat que je verrais l'avantage?

[invite07dd2471]

oui.. là tu verras à partir de quand le contrat deux aura rapporté plus d'argent que le 1 au total.. et si tu cherches le plus petit n tq Un<Vn, alors là tu auras la durée pour laquelle le contrat 2 est plus lucratif pour une année

[invite1a2d3d68]

Bonjour! C'est encor moi et mon fameux exo
Non en fait pour faire la somme, donc j'ai bien cette formule :
S = (nbr de termes)×{(1er terme + dernier terme)/2}
qui est équivalente à :
S = (n + 1)×{(u₀ + u_n)/2}

mais à quoi correspondent u₀ et u_n, ce que je veux dire c'est que par quoi dois je les remplacer dans Un et Vn??

Merci

[invite07dd2471]

ben un coup tu poses je sais pas moi euh f(n) = (n+1)(Uo + Un)/2 et g(n) = (n+1)(Vo + Vn)/2

tu as deux fonctions de n, et tu regardes à partir de quand g(n)>f(n)
sans oublier que n est entier

et fais aussi de l'autre manière, comme ça je ne sais pas ce qu'on attend de toi, si on veut que tu détermine à partir de quand le 2 devient supérieur au 1 ou a partir de quand le 2 aura rapporté plus que le 1 mais comme ça tu auras les 2 résultats

[invite1a2d3d68]

merci de m'avoir répondue, mais je pense que j'ai du mal m'exprimer

est-ce que pour Un, u₀ =2500 ??
et dans V_n, u₀ = 1000 ??

Je doit alors calculer le nombre de "n" termes en remplaçant dans Un = Uo +nr (car arithmétique)

Et donc pour cela il me faut aussi Un (que je ne sais par quoi remplacer, d'ou mon message précédent)

Et pout de même il me faut la raison "r" pour les deux suites..

Sans cela je ne peut effectuer alors les 2 Sommes..

[invite07dd2471]

oui Vo et Uo sont les salaires/primes (je sais plus ^^) de la première année
ensuite ben comme tu dis Un et Vn tu as les expressions en fonction de la raison

et la raison euh je comprends pas ta question, tu n'as pas les raisons des deux sutes ?

[invite3f227842]

oui Vo et Uo sont les salaires/primes (je sais plus ^^) de la première année

donc pour Un, u0 =2500
et pour Vn, u0 = 1000

ensuite ben comme tu dis Un et Vn tu as les expressions en fonction de la raison

et la raison euh je comprends pas ta question, tu n'as pas les raisons des deux sutes ?

Et non on ne me donne pas les raisons.. j'ai peut être eu le vague idée de mettre la raison de Un=300 et celle de Vn=100 mais j'en doute complètement, non?

[invite1a2d3d68]

désolé petite erreure de compte que je ne peux supprimer à cause d'une erreure de prénom. Enfin bref je ne pense pas être en déli, je cherche malgrès tout à comprendre cet exercice!! don pour la raison r que j'ai proposé, j'ai peut etre pensais que cela pouvait etre ça, mais je n'en suis pas sure

[invite07dd2471]

ben on a déjà traité ce point !


après "calcul" on trouve
Un = 2500 + 300n donc suite arithmétique de premier terme U0 = 2500 et de raison 300
Vn = 1900 + 400n donc suite arithémtique de premier terme V0 = 1900 et de raison 400

[invite07dd2471]

relis le message 12 pour Vn !