Démonstration de la formule d'Archimède

[invite5c345a5a]

Bonsoir,

Je suis élève de terminale S et j'ai un soucis dans la résolution d'une question supplémentaire que le professeur nous a donné en DM.

Pour faire rapide, la formule montre que dans un plan, l'aire A de la surface sous une parabole vaut A = 2/3*B*H avec B la base (différence d'abscisse) et H la hauteur. Et il faut la démontrer dans le cadre général.

J'ai donc choisi un polynôme du second degré f(x) = ax^2+bx+c où l'on a :
B = x2 - x1 = (√discriminant)/a si l'on factorise après quelques calculs
H = -b/2a
Donc 2/3*B*H = (-b*√discriminant)/3a^2 si l'on développe.

Pour démontrer la formule, j'ai donc cherché a calculer l'aire avec une intégrale, c'est à dire F(x2) - F(X1) (en utilisant la primitive F(x) = ax^3/3 + bx^2/2 + cx) et donc retomber sur le bon résultat.

Et après une série de trois développements très fastidieux avec des méthodes différentes qui m'ont chacun prit 30 mn, je tombe sur des résultats étranges, le plus proche de la formule étant le suivant : (-discriminant*√discriminant)/6a^2.


Donc je ne sais pas si j'utilise la bonne méthode ou pas ... Ce serait quoi le plus rapide ? Est-ce que je pars d'un bon début ? Car y'a tellement de calculs qu'une erreur de signe, etc, est très vite arrivée

Je vous remercie (peut-être que quelqu'un aura la foi de refaire le développement pour moi si c'est la seule méthode ).


Bonne soirée
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[PlaneteF]

Bonsoir,

H = -b/2a

Voilà ce que tu viens d'écrire :

Même type d'erreur d'écriture plus loin dans ton message.

Rappel : La multiplication n'est nullement prioritaire sur la division (l'inverse non plus d'ailleurs).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

[V13]

C'est un peu aléatoire ton truc...

Si ta fonction est convexe, l'aire sous la courbe entre les deux racines du trinôme vaudra - l'intégrale et si ta fonction est concave elle vaudra exactement l'intégrale.

Il y a donc deux cas à prendre en compte avec un signe de différence pour le calcul de l'intégrale. Plus généralement tu peux travailler avec la valeur absolue :

Il faut aussi prendre une valeur absolue sur la hauteur qui est une longueur donc tout le temps positive alors que ne l'est pas toujours.

n'est pas égal à mais à

[V13]

Aussi je te conseille une fois que tu as fait ton calcul d'intégrale, de faire apparaître en factorisant, des termes de la forme :

et car comme et sont des racines du trinôme ces expressions sont égales à et simplifient le calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c345a5a]

Bonsoir,



Voilà ce que tu viens d'écrire :

Même type d'erreur d'écriture plus loin dans ton message.

Rappel : La multiplication n'est nullement prioritaire sur la division (l'inverse non plus d'ailleurs).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

Bonsoir,

En fait pour moi le / représente la barre de fraction, pas la division (donc ne t'inquiète pas, j'ai bien respecté les priorités dans mes calculs).

[invite5c345a5a]

C'est un peu aléatoire ton truc...

Si ta fonction est convexe, l'aire sous la courbe entre les deux racines du trinôme vaudra - l'intégrale et si ta fonction est concave elle vaudra exactement l'intégrale.

Il y a donc deux cas à prendre en compte avec un signe de différence pour le calcul de l'intégrale. Plus généralement tu peux travailler avec la valeur absolue :

Il faut aussi prendre une valeur absolue sur la hauteur qui est une longueur donc tout le temps positive alors que ne l'est pas toujours.

n'est pas égal à mais à

En fait précédemment j'ai du étudier une arche, donc je ne sais pas vraiment si il faut étudier la parabole dans les deux cas, je pense que celui de la parabole dirigée vers le haut suffit.

Aussi je te conseille une fois que tu as fait ton calcul d'intégrale, de faire apparaître en factorisant, des termes de la forme :

et car comme et sont des racines du trinôme ces expressions sont égales à et simplifient le calcul.

Ah oui je n'y avait pas pensé, je vais essayer merci !

[V13]

Et n'oublie pas que :

et que et

[invite5c345a5a]

Euh j'ai un petit problème : en développant avec les simplifications de x1 et x2 comme l'a dit V13 je retombe sur la même formule que la première que j'avais trouvé : (-discriminant*√discriminant)/6a^2
Et je pense pas m'être trompé ...
Je sais pas où est l'erreur car la formule que je dois retrouver me semble correcte, et je suis pratiquement sur de mon développement ^^

[PlaneteF]

(...) pour moi (...)

Sauf que l'on ne vient pas sur un espace commun avec ses propres écritures et ses propres conventions, ... chacun se doit de respecter le langage commun.

2+5=10 ... Ben oui "pour moi" le signe + est celui de la multiplication

(...) donc ne t'inquiète pas, j'ai bien respecté les priorités dans mes calculs (...)

Et donc tu ne respectes pas le bon usage des symboles mathématiques de base.


Cordialement

[invite5c345a5a]

Et donc tu ne respectes pas le bon usage des symboles mathématiques.

Je suis particulièrement exigent sur la façon dont j'utilise les notations à l'écrit, j'aimerais le faire sur ce forum mais malheureusement ce n'est pas une volonté de "ne pas respecter le bon usage des symboles" mais je ne les respecte pas plutôt par soucis matériel, car je ne sais pas écrire des barres de fraction sur un ordinateur.
Mais si je pouvais respecter le langage, je le ferais
Et puis je pense que ce débat m'est peu utile pour m'aider dans l'exercice

[PlaneteF]

Mais si je pouvais respecter le langage, je le ferais

Et ben tout simplement tu utilises des parenthèses, et au lieu d'écrire -b/2a qui veut dire et ben tu écris -b/(2a) qui veut bien dire

Cdt

[invite5c345a5a]

J'aurais pu c'est vrai, mais je pensais que l'on comprendrait mon écriture.

[invite5c345a5a]

Il n'empêche que je trouve toujours (-discriminant*√discriminant)/6a^2 au lieu de (-b*√discriminant)/3a^2.

[invite5c345a5a]

Ca y est enfin ! J'ai trouvé mon erreur, toute bête : la hauteur ne vaut pas -b/(2a) mais f(-b/(2a)), et lorsque je calcule A avec ça, les deux résultats obtenus sont les mêmes !

Par contre il y a un nouveau problème : précédemment dans l'exercice, on me demande de calculer une aire avec cette formule que je n'avais pas encore démontrée, pour une courbe d'équation y = -x^2-x+6 et je trouve 125/6 u.a ce qui est cohérent.
Avec la formule trouvée, je trouve le même résultat mais en négatif, ça viendrait d'où ?

[V13]

Ca y est enfin ! J'ai trouvé mon erreur, toute bête : la hauteur ne vaut pas -b/(2a) mais f(-b/(2a)), et lorsque je calcule A avec ça, les deux résultats obtenus sont les mêmes !

Par contre il y a un nouveau problème : précédemment dans l'exercice, on me demande de calculer une aire avec cette formule que je n'avais pas encore démontrée, pour une courbe d'équation y = -x^2-x+6 et je trouve 125/6 u.a ce qui est cohérent.
Avec la formule trouvée, je trouve le même résultat mais en négatif, ça viendrait d'où ?

Prend la valeur absolue et tu l'as ton résultat ! L'intégrale est une aire algébrique pas une aire tout court.