Arithmétique

[kaderben]

Bonjour

Voici un systeme congruence à deux inconnues:
3x+y=2 mod 6
x+3y=4 mod 6

Par combinaison linéaire
multiplions la premiere par 3 puis soustraction:
9x+3y=6 mod 6
x+3y=4 mod 6

3x+y=2 mod 6
8x=2 mod 6 --------> x=1 mod 6

puis je remplace dans x+3y=4 mod 6
1+3y=4 mod 6
donc 3y=3 mod 6------->y =1 mod 6

Et bien x=1 et y=1 vérifient le deuxieme systeme (équivalent du premier) mais ne vérifient pas le premiers systeme
Je ne comprends pas

Merci pour vos commentaires
-----

[Médiat]

Bonjour;

Cela vient de ce que vos implications ne sont pas des équivalences (à cause des diviseurs de 0), de plus certaines sont fausses (pour la même raison)

Par exemple 2x = 2 mod(6) n'entraine pas x= 1 mod(6) (puisque 4 convient aussi)

[kaderben]

Bonjour
Je n'ai pas tout compris!

à cause des diviseurs de 0

Tous les nombres non nuls son des diviseurs de 0 mais je ne vois pas ici qu'est ce que ça veut dire

Par exemple 2x = 2 mod(6) n'entraine pas x= 1 mod(6) (puisque 4 convient aussi)

x=1 vérifie aussi 2x = 2 mod(6)

Pour finir, cela veut dire que ma démarche est fausse ?

[Médiat]

Tous les nombres non nuls son des diviseurs de 0 mais je ne vois pas ici qu'est ce que ça veut dire

Boonjour

Un diviseur de 0 est un nombre x non nul tel qu'il existe y non nul et xy = 0

Par exemple 2.3 = 0 mod (6)

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Bon, je ne sais pas trop mais je vais risqué ceci:
xy=0 mod 6
équivaut à xy=6k, k dans Z
k=1: 2*3=6
k=2: 2*6=12
etc...

ici x=2 est un diviseur de 0

[kaderben]

Si on revient au systeme de départ, est ce qu'il n'a pas de solutions ou bien il faut s'y prendre autrement ?

[gg0]

Bien sûr qu'il a des solutions !

Quand vas-tu les chercher en appliquant des règles mathématiques ?

NB : Tu devrais étudier les propriétés algébriques des congruences, ça te servirait ici ...

[kaderben]

Tu devrais étudier les propriétés algébriques des congruences, ça te servirait ici ...

Voici les propriétés qu'on étudie en terminale:
a=b mod n
a'=b' mod n

-on peut ajouter ou retrancher ou multiplier les deux cobgruences membre à membre
on peut ajouter ou retrancher ou multiplier les deux membres de l'une
ka=kb mod n
-On peut élever les deux membres a la même puissance:
a^m=b^m mod n

-Si n divise a alors a=0 mod n =a mod n

Je ne sais pas si c'est ce que tu voulais savoir

[gg0]

Tu remarqueras qu'à aucun moment il n'est question de simplification, dans tes propriétés. C'est normal en général ce c'est pas possible !

Donc à toi de te débrouiller en procédant par équivalence. Et en évitant de multiplier n'importe comment, ça donne des erreurs, par exemple 2 et 4 ne sont pas congrus modulo 6, mais 3x2 et 3x4 sont congrus modulo 6.
Par exemple, tu peux procéder ainsi :
3x+y=2 mod 6
x+3y=4 mod 6
y= ... mod 6
x+3y=4 mod 6

y= .... mod 6
x+3(...)=4 mod 6

etc.

[kaderben]

Voilà ce que j'ai fait:
3x+y=2 mod 6
x+3y=4 mod 6
équivaut à
y= 2-3x mod 6
x+3y=4 mod 6
équivaut à
y= 2-3x mod 6
x+3y=4 mod 6
équivaut à
y= 2-3x mod 6
x+3(2-3x)=4 mod 6
équivaut à
.
.
y= 2-3x mod 6
8x=2 mod 6
équivaut à
y= 2-3x mod 6
8x-6k=2
A l'aide du th de Bezout
y= 2-3x mod 6
x=1 mod 6
équivaut à
x=1 mod 6
y=-1 mod 6 ou y= 5 mod 6

Ce couple est solution car il vérifie le systeme
Donc la solution générale du systeme est:
x=1+6k et y=5+6k', k et k' dans Z

[gg0]

Bon,

déjà tu ne trouves pas 8x=2. Fais soigneusement les calculs !!
Ensuite, je n'ai pas compris ce que le théorème de Bézout vient faire là.

Modulo 6, tu n'as que 6 nombres à tester pour voir lesquels, multipliés par 8 sont congrus à ce que tu aurais dû trouver.
Ce qui te permettra de présenter toutes les solutions

[kaderben]

Oui
x=1 mod 6 ou x=4 mod 6
donc y=-1 mod 6 ou y=-10 mod 6
c'est à dire:y=5 mod 6 ou y=2 mod 6

déjà tu ne trouves pas 8x=2. Fais soigneusement les calculs !!

je trouve -8x=-2 mod 6 équivaut à 8x=2 mod 6

[gg0]

Ok ...
Difficile de savoir ce que tu fais quand tu détailles des calculs évidents et pas ceux qui modifient !

[kaderben]

Bonjour ggO et merci pour tes réponses

J'ai appris quelquechose que j'ignorai avant.
Pour une équation comme ax=b modulo n, b<n, j'utilisais le th de bézout ou la table des modulos mais je m'arrêtais à la premier valeurs de x qui obtient le reste b et pour moi il y avait q'une solution x0 et je la complétais par x=x0+kn, k dans Z.

Tu m'avais fait la remarque, et j'ai continué jusqu' à la deuxieme solution.

Maintenant je voulais revenir à ma question du début que je rappelle:

Voici un systeme congruence à deux inconnues:
3x+y=2 mod 6
x+3y=4 mod 6

Par combinaison linéaire
multiplions la premiere par 3 puis soustraction:
9x+3y=6 mod 6
x+3y=4 mod 6

3x+y=2 mod 6
8x=2 mod 6 --------> x=1 mod 6

puis je remplace dans x+3y=4 mod 6
1+3y=4 mod 6
donc 3y=3 mod 6------->y =1 mod 6

Et bien x=1 et y=1 vérifient le deuxieme systeme (équivalent du premier) mais ne vérifient pas le premiers systeme
Je ne comprends pas

et voici la réponse du modérateur:

Cela vient de ce que vos implications ne sont pas des équivalences (à cause des diviseurs de 0), de plus certaines sont fausses (pour la même raison)
Par exemple 2x = 2 mod(6) n'entraine pas x= 1 mod(6) (puisque 4 convient aussi)

que je n'ai pas comprise

et voici ta répons après:

Et en évitant de multiplier n'importe comment, ça donne des erreurs, par exemple 2 et 4 ne sont pas congrus modulo 6, mais 3x2 et 3x4 sont congrus modulo 6.

que je ne vois pas ou ça se passe car 2 et 4 sont donnés dans le systeme!

Si tu veux m'expliquer un peu...

[gg0]

On te signale une erreur classique, avec explication. Commence par voir ce qui est faux. en reagardant ce qu'on montre comme contre exemple.

Ton erreur est, comme l'a dit Médiat, de ne pas procéder par équivalences (donc tu peux introduire des solutions parasites) et même pas par implication, comme dans "8x=2 mod 6 --------> x=1 mod 6"

Avec des égalités, si a est non nul et b=c alors ab=ac et réciproquement; Ce n'est plus vrai pour des congruences : On a seulement
si a est non nul et b=c modulo n alors ab=ac modulo n

Astreins-toi à ne faire qu'employer des règles du cours. Tu feras véritablement des maths.

[gg0]

J'explique le lien avec les diviseurs de 0 :
si a est non nul et ab=ac [n], on aimerait simplifier. or ab=ac [n] donne ab-ac=0 [n], donc a(b-c)=0 [n]. S'il peut y avoir des diviseurs de 0, que a en fait partie, cette égalité ne nit plus qu'une chose sur b et c : b-c multiplié par a est un multiple de n. 9a ne dit pas b-c=0 [n] qui permettrait d'obtenir b=c [n]