exo arithmétique

[invite371ae0af]

bonjour,
Pouvez vous m'aider à comment cette exercice

si d divise le produit mn, alors d peut s'écrire sous la forme d=rs ou r divise m et s divise n

merci
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux utiliser la décomposition en nombres premiers ; dans ce cas, les facteurs premiers de d vont soit diviser m, soit diviser n.

[invite371ae0af]

je n'ai pas vu la décomposition en nombres premiers

[invite332de63a]

Bonjour,

Posons r=pgcd(d,m) alors r divise m. Soit s tel que d=rs alors s divise mn
or d'après la définition de s on a pgcd(s,m)=1 donc s divise n (d'après Gauss)
Donc d=rs avec r divise m et s divise n

RoBeRTo

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

pourquoi pgcd(s,m)=1 ?

[invite332de63a]

Je ne sais pas ca me semblait logique et je n'arrive pas à le montrer donc peut être pas si "logique"

En gros je dirai que si pgcd(s,m)=u ne serait pas 1 alors le pgcd de d et m ne serait pas r mais ru... mais ca doit être la fatigue qui me bloque (si c'est vrai)

[invite371ae0af]

comment fait on avec la décomposition en nombre premier?

[Seirios]

comment fait on avec la décomposition en nombre premier?

Tu écris ; pour tout i, note la puissance maximale de (comprise entre 1 et ) telle que divise m. On note alors ; donc par construction, r divise m. Posons ; on remarque qu'on a bien d=rs, il ne reste plus qu'à prouver que s divise n. Comme d divise nm, il existe un entier k tel que nm=kd=krs, et comme r divise m, il existe un entier k' tel que m=k'r ; donc , d'où ; or par construction, chaque ne peut diviser k', donc nécessairement ils divise n, et donc le produit , c'est-à-dire s, divise n.

Je ne sais pas ca me semblait logique et je n'arrive pas à le montrer donc peut être pas si "logique"

On peut d'ailleurs trouver un contre-exemple : 12 divise 18x6=108 ; on a PGCD(12,18)=6, donc on écrit 12=2x6, mais PGCD(2,18) n'est pas égal à 1.

[invite332de63a]

Merci Phys2 de m'avoir montré mon erreur.