Bonjour,
est-ce qu'il existe des suites exactes courtes
(a)
et
(b)
Je pense que si
est une suite exacte courte revient a dire que
Mais comment utilise-t-on cette information pour repondre aux questions? Quels seraient les
Bonsoir
Pour la premiere, clairement non. Se donner une injection de Z dans Z^3, c'est ce se donner une element non nul de Z^3, et quand tu vas quotienter par cette element bah, tu n'aura pas Z (ecrit le).
Pour le b) Z_n, c'est Z/nZ?
Si oui, quels sont les elements d'ordre 4 dans Z_8, Z_2, que peut tu en deduire?
Z_2xZ_2 est il isomorphe a Z_4?
Pour (a), je ne sais pas si je comprend tres bien ce qui se passe. Donc, supposons qu'il y ait une injection
Pour (b) Je ne me rappelle plus tres bien, mais je ne pense pas qu'il y ait des elements d'ordre 4 dans).
Et je ne pense pas que
Mais qu'est ce qu'on peut en conclure?
Bonjour,
Oui, le noyau est trivial, mais ca on s'en fiche un peu.Envoyé par math8
Pour (a), je ne sais pas si je comprend tres bien ce qui se passe. Donc, supposons qu'il y ait une injection
Quel est l'image de 1 dans Z^3, quelle est donc l'image de Z dans Z^3, que vaut le quotient?
Non pas d'elements d'ordre 4 dans Z_2, par contre tes elements d'ordre 4 dans Z_8 sont faux.Du coup quel est l'image de 1 par la fleche Z/4Z->Z/2ZxZ/8Z.Pour (b) Je ne me rappelle plus tres bien, mais je ne pense pas qu'il y ait des elements d'ordre 4 dans
Et je ne pense pas que
Mais qu'est ce qu'on peut en conclure?
Que vaut le quotient?
Pour (a), je pense que l'image de
Je ne sais pas tres bien, mais je pense que le quotient de
(b) Oh oui, les elements d'ordre 4 de
Donc je pense que peut etre le quotient de
Bonjour,
Non, les morphismes ne sont pas des morphismes d'anneaux ici, ce sont des morphismes de groupes, donc il n'y a pas de raison que 1 s'"envoie sur (1,1,1).Pour (a), je pense que l'image de
Je ne sais pas tres bien, mais je pense que le quotient de
L'image de 1 est un certain (a,b,c) maintenant, la seule chose qu'(on peut dire c'est que (a,b,c) est non nul et que l'image du morphisme est Z(a,b,c), le quotient vaut alors Z/aZxZ/bZxZ/cZ, qui n'est pas isomorphe a Z (pourquoi?) (une autre manière de la voir par exemple est de dire que si on note G le groupe quoitient, on peut trouver m non nul tel que m.1=0, dans G, pourquoi cela empeche t il G d'etre isomorphe a Z?
C'est exact.(b) Oh oui, les elements d'ordre 4 de
Donc je pense que peut etre le quotient de
Le reponse de b est donc bien, non. Pourquoi?
Pour (a), je pense que
Je vois bien que si
Pour (b), je pense que c'est par la definition d'une suite exacte courte, et par le premier theoreme d'isomorphisme de groupes, on devrait avoir que
Bonsoir,
Non ZaxZ_bxZ_c n'est pas forcement fini, il faut faire attention si par exemple a=0.
JE vais te donner une exemple qui t'eclairera pour la suite par exemple suppose que 1 s'envoie sur (1,2,3) (qui est ton element (a,b,c))
Alors tu as 6.(1,1,1) qui vaut 0 dans le quotient (6 c'est abc), alors il faut faire attention si par exemple a=0, ben faut pas prendre abc, mais bc, si a=b=0, alors il faut juste prendre c... Tu vois le truc?
Pour le b), que veut tu dire par i(1), on quotient par un sous groupe... ca n'a pas de sens ce que tu ecris (i(1) n'est pas un sous groupe de i(Z_4), et en plus quotienter par une groupe inverse les felches, si tu as K un sous groupe de H, alors G/K n'est pas du tout un sous groupe de G/H, par contre G/H est un quotient de G/K...)
Tu sais que Z_4 s'envoie sur le groupe (2) dans Z_8 que tu identifies a un sous groupe de Z_8xZ_2.
Donc effectivement si tu avais une telle suite exacte tu aurais Z_8xZ_2/(i(Z_4))=Z_4, mais le membre de gauche vaut Z_2xZ_2.
Dans ton exemple, est-ce que m=6? Si oui, est-ce que 6 est un element de l'espace quotient
Pour (b), je pense que c'est ce que je disais: si K<H donc je pensais que peut etre G/K devrait contenir G/H...
Quel est le groupe que tu notes par (2) dans
Donc si je comprends bien, puisqu'il n'y a que 2 elements d'ordre 4 dans Z_8 (2 et 6), et bien il n'y a que deux possibilites pour i(1). Aussi, dans
Et donc a partir de la, comment voit on qu'il en resulte que
Ben oui dans mon exemple m=6,Dans ton exemple, est-ce que m=6? Si oui, est-ce que 6 est un element de l'espace quotient
Ben 6 n'est pas un element du quotient, relis ce que j'ai ecris, les elements du quotient sont par définition les images des elements de Z^3, ici, 6.(1,1,1) est bien un element de Z^3, qui s'envoie sur 0 dans le quotient.
C'est faut la notion d'inclusion et de quotient sont duales, et tres differentes. Par exemple Z/2Z n'est pas un sous groupe de Z, mais c'est un quotient de Z.Pour (b), je pense que c'est ce que je disais: si K<H donc je pensais que peut etre G/K devrait contenir G/H...
Ce que je note, (2), les le sous groupe engendre par 2 (dans Z/8Z), c'est le groupe {0,2,4,6} si tu preferes.Quel est le groupe que tu notes par (2) dans
Donc si je comprends bien, puisqu'il n'y a que 2 elements d'ordre 4 dans Z_8 (2 et 6), et bien il n'y a que deux possibilites pour i(1). Aussi, dans
Et donc a partir de la, comment voit on qu'il en resulte que
Dans Z_4, 1 est d'ordre 4, comme la fleche de gauche est une injection, 1 s'envoie sur un element d'ordre 4 et donc sur 2 ou 6, et donc l'image de Z_4 dans Z_8xZ_2, est {0,2,4,6}x{0}, on va le noter H.
Donc le quotient Z_8xZ_2/H vaut Z_2xZ_2 qui n'est pas isomorphe a Z_4.
Ok, je vois que en supposant que i(1)=(2,0), on a que
Mais j'imagine aussi que (2,1) (et (6,1) d'ailleurs car eux aussi sont d'ordre 4 dans
