Suites exactes

[doryphore]

Bonjour, j'ai un petit peu de mal à appréhender la notion de suite exacte en théorie des groupes.

Est ce que certains d'entre vous pourraient avoir l'amabilité de me donner certains renseignements généraux sur ces suites exactes dont je ne connais qu'un intérêt dans les procédés d'extension de groupes?

En fait, je ne connais comme extension que les produits directs et semi-directs et je serai surpris que les suites exactes aient été inventées uniquement dans ce but.

Plus de détail sur les extensions et leurs intérêts théoriques seraient également les bienvenus.
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[mtheory]

Salut doryphore.
J'ai un doute mais je crois que celà s'utilise beaucoup en topologie
algèbrique ,en liaison avec l'homologie(groupes) et peut être l'homotopie(groupes) des variétés.

[doryphore]

Je te remercie de cette réponse.

J'espère néanmoins que d'autres intervenants pourront me donner un éclairage un peu plus spécifique.

Je sais que circulent sur ce forum des spécialistes en topologie algébrique et d'autres qui manipulent assez sérieusement les variétés différentiables. A celà s'ajoutent des généralistes de hauts niveaux donc je ne pense pas que mon petit problème niveau bac +4/+5 reste longtemps lettre morte.

[mtheory]

Cela peut-il t'aider?

http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_s...xact_sequences

Je crois qu'elles interviennent dans la classification des groupes finis,leurs représentations et donc , à l'aide de la théorie des foncteurs, permettent de classifier topologiquement certaines classes de variété.
C'est semble t'il un des grands moteur de leur dév.
Escuse moi si j'ai dit trop de bêtises ,j'aime beaucoup les mathématiques donc je ne résiste pas à entrer dans la discussion.
Je ne prétends pas être un mathématicien,il se trouve seulement que ,dans mes études en relativité générale ,j'ai vaguement regarder la topo algé et la geo diff.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Salut doryphore.
J'ai un doute mais je crois que celà s'utilise beaucoup en topologie
algèbrique ,en liaison avec l'homologie(groupes) et peut être l'homotopie(groupes) des variétés.

En fait, ce qu'il ne faut pas perdre de vue, c'est qu'une suite exacte est essentiellement pratique du point de vue de la visualisation : on voit tout de suite qui s'injecte dans quoi, et quel machin est surjectif.

Ensuite, cela permet de faire des choses plus profondes. Par exemple, étant donné un foncteur d'une catéforie dans elle-même (où au sein de ma catégorie j'ai une notion de suite exacte, par exemple la catégorie des groupes abéliens), je peux le dire exact s'il envoie les suites exactes courtes sur des suites exactes. Après, avec la simplification que j'ai, j'aurais des critères "rapides" pour donner l'exactitude de mon foncteur (par exemple, un module A est plat si le foncteur est exact, il est projectif si est exact, et il est facile de voir que ces définitions en termes de foncteurs collent avec les définitions habituelles).
Et c'est très pratique de savoir si ces foncteurs sont exacts, ou de connaître leur défaut à être exact, pour étudier de près les anneaux sur lesquels sont pris ces foncteurs.

Bref, il n'y a pas grand chose de conceptuel, c'est une simple écriture très pratique pour établir des résultats sans se taper trop d'écriture. Par exemple, le lemme du Serpent qui permet d'obtenir à partir d'une courte suite exacte de complexes de chaînes une suite exacte longue en homologie serait atroce à prouver sans cet outil (il l'est déjà avec !)

[mtheory]

Bonsoir stephen (Hawking? ).

Pourrais-tu me dire si j'ai dit des conn... dans le précédent post pour doryphore?

[invite51f4efbf]

Je ne suis pas spécialiste, mais je crois que tout est OK : j'ai classifié des modules et les suites exactes intervenaient. Comme un groupe abélien c'est jamais rien d'autre qu'un Z-module on doit pouvoir les classifier en utilisant cet outil.

Par contre, je ne garantis en rien que ce soit le moyen le plus simple. Ce qui est sûr c'est que pour les groupes abéliens finis ou de génération finie on s'en passe.

Amicalement,
Stephen

[doryphore]

Cela peut-il t'aider?

http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_s...xact_sequences

Eh bien ce lien m'a aidé, j'ai surtout un pb de motivation avec les maths.
En fait, si je ne trouve pas une utilité à ce que je fais je ne peux pas (ou plus) avancer.
En ce moment, je prépare l'agreg. et les suites exactes tombent un peu comme des cheveux dans la soupe niveau programme.
A mon niveau, les suites exactes ne servent pas en tant qu'outil, on dirait qu'elles servent à faire jolies.
Tu vois le diagramme au bas de la page que tu m'as indiquée me redonne un peu d'intérêt.

Je crois qu'elles interviennent dans la classification des groupes finis,leurs représentations et donc , à l'aide de la théorie des foncteurs, permettent de classifier topologiquement certaines classes de variété.

Pour la classification des groupes, j'étais au courant, en revanche pour ce qui est des variétés, je n'en savais rien.
En tout cas, la théorie des catégories semble être extrêmement puissante. Dommage que je n'en connaisse rien.

Escuse moi si j'ai dit trop de bêtises ,j'aime beaucoup les mathématiques donc je ne résiste pas à entrer dans la discussion.
Je ne prétends pas être un mathématicien,il se trouve seulement que ,dans mes études en relativité générale ,j'ai vaguement regarder la topo algé et la geo diff.

Trop modeste!
Si j'ai réagi comme ça dans mon post, c'est juste parce que ta première réponse aurait très bien pu s'appliquer aux groupes eux-mêmes et que je ne voulais pas prendre le risque que la discussion en reste là.
De toute façon, les physiciens, les biologistes, les ingénieurs, les économistes sont tous des mathématiciens. Après c'est juste une question de spécialisation.
Moi, je ne comprens rien aux explications de I/G même si je reconnais les objets math. dont ils parlent.

Ensuite, cela permet de faire des choses plus profondes. Par exemple, étant donné un foncteur d'une catéforie dans elle-même (où au sein de ma catégorie j'ai une notion de suite exacte, par exemple la catégorie des groupes abéliens), je peux le dire exact s'il envoie les suites exactes courtes sur des suites exactes. Après, avec la simplification que j'ai, j'aurais des critères "rapides" pour donner l'exactitude de mon foncteur (par exemple, un module A est plat si le foncteur est exact, il est projectif si est exact, et il est facile de voir que ces définitions en termes de foncteurs collent avec les définitions habituelles).
Et c'est très pratique de savoir si ces foncteurs sont exacts, ou de connaître leur défaut à être exact, pour étudier de près les anneaux sur lesquels sont pris ces foncteurs.

Bref, il n'y a pas grand chose de conceptuel, c'est une simple écriture très pratique pour établir des résultats sans se taper trop d'écriture. Par exemple, le lemme du Serpent qui permet d'obtenir à partir d'une courte suite exacte de complexes de chaînes une suite exacte longue en homologie serait atroce à prouver sans cet outil (il l'est déjà avec !)

Dont ça ne sert pas qu'à faire joli
En tout cas le prochain saut conceptuel prévu, c'est la théorie des catégorie.
Ca fait déjà 2 fois que je bute dessus.

[mtheory]

Merci beaucoup Stephen !

Ce que j'ai écris était basé sur mes souvenirs et ma lecture de ce soir de http://en.wikipedia.org/wiki/Homology_%28mathematics%29

[mtheory]

Eh bien ce lien m'a aidé, j'ai surtout un pb de motivation avec les maths.
En fait, si je ne trouve pas une utilité à ce que je fais je ne peux pas (ou plus) avancer.

Merci beaucoup , je te rassure j'ai le même problème que toi et j'ai dut parcourir des tonnes de bouquins pour essayer de trouver l'origine de beaucoup des concepts bourbakisés ,et donc incompréhensible pour moi , afin de voir leurs développement génétique et leurs progressives généralisations.

Pour revenir à ce que je crois savoir dessus, à l'origine il devait
s'agir d'algorithme que Lie avait introduit pour savoir si des formes différentielles (des edp et eqdfo à l'époque) étaient exactes donc intégrables(inspiration à partir de Galois je cr).

Puis Poincaré ,Elie Cartan et De Rham ont montrés les relations entre
formes diff et topologies des variétés différentiables.
La topologie combinatoire à la Poincaré/Lefshetz s'en est mellée il me semble.

La phase finale c'est Henri Cartan et Einlenberg qui en introduisant les foncteurs ont systématisé,algébrisé tout ça avec l'algébre homologique, et maintenant comme d'habitude on présente çà en renversant l'ordre de dév (beurk!!).
Ainsi on "map" un problème de classification topologique sur un problème algébrique et on calcule .

Stephen tu confirme où j'ai déliré?

Again mes exc pour les fts d'orth.

[invite51f4efbf]

Stephen tu confirme où j'ai déliré?

Ben je sais pas trop pour le développement historique ! Il y a quelque chose que l'on nomme homologie et cohomologie de Rham (mathématicien suisse qui nous a laissé les journées romandes de mathématiques... et quelques travaux majeurs ^_^) et qui s'exprime en effet naturellement dans le langage de l'algèbre homologique. Effectivement l'AH doit en être une généralisation, pour début tout du moins : comme je l'ai dit, l'algèbre homologique sert plus tard à étudier directement des anneaux grâce à cette généralisation.

Bien sûr, comme tu l'as senti la cohomologie de Rham étudie l'opérateur d envoyant les formes différentielles de degré p vers celles de degré p+1, et vérifie d o d = 0. L'AH s'intéresse bêtement a ux complexes de chaînes, c'est à dire une suite de modules avec des applications et telles que .

Si cela t'intéresse, tu peux chercher les thèmes suivants dans la litterature : dimension projective, dimension injective, dimension plate, théorème de la Sizygie de Hilbert (liste non exhaustive de sujets en tout cas connexes). Je crois savoir qu'il y a des théorèmes récents qui ont été trouvés là-dedans (dont au moins un de Serre).

Amicalement,
Stephen

[mtheory]

merci Stephen,je prends note!