suites
salut à tous!
J'ai une question concernant la convergence des suites à valeur réelle: jaimerais savoir si il est correct de dire que si n'importe quelles deux suites extraites d'une suite (Un)n convergent vers une même limite alors la suite (Un)n converge vers cette même limite??
Ce serait gentil si quelqu'un pourrait m'aider!merci.
Je ne pige pas bien ton énoncé.
Si j'interprete , je pense que tu dis:
"Si n'importe quelle suite extraite converge vers l, alors la suite converge vers l."
Pour une suite à valeur réelle c'est vrai.
Si n'importe quelle sous suite converge vers l, alors c'est en particulier vrai pour les suites (u2n) et (u2n+1) et là on reconstruit facilement la suite (un) et on voit que c'est vrai.
Si (un) converge vers l, supposons une suite extraite (u(phin)) qui ne converge pas vers l:
Supposons qu'elle diverge:
Supposons qu'elle diverge vers +ou-l'infini, dans ce cas elle ne peut pas etre bornée, et ne peut donc pas converger.
Supposons qu'elle n'a pas de limite, dans ce cas, pour tout point x de R, toute boule ouvert de centre x et de rayon quelconque positif ne contiendra qu'un nombre fini ou nul de points de la suite, en particulier pour x=l, donc la suite (un) ne peut pas ne pas avoir de limite.
Enfin, si (u(phin)) converge vers m différent de l, alors pour toute boule Bm de centre m et de rayon positif, R-Bm contient un nombre fini de termes de (u(phin)) en particulier pour une boule de rayon r suffisament petit pour que B(r,m)interB(r,l) soit vide. Ainsi on a que B(r,l) ne contient qu'un nombre finis de termes de u(phin) ce qui est impossible.
Donc on a bien l'équivalence, en fait on pouvait regrouper ces 3cas en un seul.
Et en fait il y'a plus simple en remarquant qu'une suite extraite est en fait une composition de 2suites de N dans N et de N dans R et en appliquant le théorème des limites sur la composition des fonctions.
oui tas raison, je me suis mal exprime.mon probleme c'est que j'ai vue une propriete ds un livre qui dit: "si (Un)n est une suite reelle et que (U2n)n et (U2n+1)n convergent vers une même limite "l" alors (Un)n converge vers "l". " Pourquoi (U2n)n et (U2n+1)n spécialement?? Pourquoi pas (U3n)n et (U2n)n par exemple??Envoyé par Quinto
C'est parceque U(2n) et U(2n+1) épuisent toutes les valeurs de U(n), ce qui n'est pas le cas de U(3n) et U(2n).
Regarde u(n) = (n - 3*[n/3]) * (n - 2*[n/2]) ([] = partie entière)
On a u(3n)=U(2n)=0 mais la suite U(6n+1)=1 ce qui exclut qu'elle converge vers 0.
c'est maintenant que je pige.merci!
