2 questions courtes : arithmétique et algèbre

[invite2b14cd41]

Salut,
J'ai d'abord un problème qui me gêne vraiment (sur le principe des tirroirs):
Soit l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et 2n. On choisit n+1 éléments de cet ensemble. Montrer qu'il en existe forcément 2 tels que l'un divise l'autre.

J'ai donc essayé pleins de trucs, la récurrence a "failli" marché ...

Le deuxieme, beaucoup plus général; existe-t-il d'autres sous-groupes de (C*,x) que (U,x) et (Un,x) ?
A part (C*,x) lui-meme, je trouve aussi l'ensemble des complexes de module strictement inférieur à 1 ou inférieur à 1, mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'y a pas d'autres cas ... Une affaire de module et d'ensembles finis/infinis ??

Merci d'avance.
-----

[invitefa064e43]

Salut,
J'ai d'abord un problème qui me gêne vraiment (sur le principe des tirroirs):
Soit l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et 2n. On choisit n+1 éléments de cet ensemble. Montrer qu'il en existe forcément 2 tels que l'un divise l'autre.

J'ai donc essayé pleins de trucs, la récurrence a "failli" marché ...

La récurrence c'est une bonne idée à première vue.
Pour appliquer le principe des tiroirs, qu'est ce que tu connais comme type de nombre assez particulier concernant la divisibilité ?

Le deuxieme, beaucoup plus général; existe-t-il d'autres sous-groupes de (C*,x) que (U,x) et (Un,x) ?

A part (C*,x) lui-meme, je trouve aussi l'ensemble des complexes de module strictement inférieur à 1 ou inférieur à 1,

Je crois que tu devrais revoir la définition de groupe (sous-groupe c'est idem).

[Seirios]

Bonjour,

A part (C*,x) lui-meme, je trouve aussi l'ensemble des complexes de module strictement inférieur à 1 ou inférieur à 1, mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'y a pas d'autres cas ...

N'oublie pas qu'un sous-groupe contient nécessairement l'élément neutre.

[invite25cbd5d2]

Salut,
J'ai d'abord un problème qui me gêne vraiment (sur le principe des tirroirs):
Soit l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et 2n. On choisit n+1 éléments de cet ensemble. Montrer qu'il en existe forcément 2 tels que l'un divise l'autre.

J'ai donc essayé pleins de trucs, la récurrence a "failli" marché ...

Je vois mal comment faire une récurrence ici . En tout cas il y a plus facile:

-tout entier compris entre et s’écrit sous la forme avec q un entier impair.

-Il y a possibilité pour

Donc en choisissant entiers on trouve forcement deux entiers et qui qui s’écrivent sous la forme : et avec .



CQFD

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Salut,

voilà ma version :

faisons la partition l'ensemble de la manière suivante :


on a n "tiroirs" mais n+1 "chaussettes" : au moins 2 chaussettes dans le même tiroir, ie au moins 2 entiers dans une des paires ie c'est gagné.

[invitec317278e]

excusez moi je raconte que de la merde

[invite2b14cd41]

Bonjour,



N'oublie pas qu'un sous-groupe contient nécessairement l'élément neutre.

Donc on prend l'ensemble des complexes de module inferieur à 1 (pas strictement)..
J'avais oublié le singleton 1 comme cas.

[invite2b14cd41]

Je vois mal comment faire une récurrence ici . En tout cas il y a plus facile:

-tout entier compris entre et s’écrit sous la forme avec q un entier impair.

EDIT desole , je viens de comprendre, merci.

[Seirios]

Donc on prend l'ensemble des complexes de module inferieur à 1 (pas strictement)..

Cela ne marche pas non plus, l'ensemble n'est pas stable par l'inversion. En fait, tu vois que si tu cherches un sous-groupe borné de , alors nécessairement il est inclus dans U (s'il contient un élément avec un module strictement supérieur à 1, il suffit de l'élever à la puissance n pour construire une suite telle que le module de ses éléments tend vers l'infini ; s'il contient un élément avec un module strictement inférieur à 1, il suffit de considérer l'inverse pour se ramener au cas précédent).

Maintenant, tous les sous-groupes propres de ne sont pas bornés ; tu peux par exemple considérer l'ensemble des éléments dont le module est un rationnel.

[invite2b14cd41]

Cela ne marche pas non plus, l'ensemble n'est pas stable par l'inversion. En fait, tu vois que si tu cherches un sous-groupe borné de , alors nécessairement il est inclus dans U (s'il contient un élément avec un module strictement supérieur à 1, il suffit de l'élever à la puissance n pour construire une suite telle que le module de ses éléments tend vers l'infini ; s'il contient un élément avec un module strictement inférieur à 1, il suffit de considérer l'inverse pour se ramener au cas précédent).

Maintenant, tous les sous-groupes propres de ne sont pas bornés ; tu peux par exemple considérer l'ensemble des éléments dont le module est un rationnel.

Je suis vraiment con
Merci pour votre réponse.

[Seirios]

D'ailleurs, tout sous-groupe de est un sous-groupe de .

[Seirios]

En fait, tu vois que si tu cherches un sous-groupe borné de , alors nécessairement il est inclus dans U

Il me semble que l'on peut même être plus précis : G est un sous-groupe de si, et seulement si, il s'écrit sous la forme et que est un sous-groupe de .

[invite2b14cd41]

Il me semble que l'on peut même être plus précis : G est un sous-groupe de si, et seulement si, il s'écrit sous la forme et que est un sous-groupe de .

Vous parlez de sous-groupes bornés je suppose? Et meme dans ce cas, je crois que l'equivalence est fausse ...

[Seirios]

Vous parlez de sous-groupes bornés je suppose?

Oui, bien sûr, j'aurais dû le mentionner plus explicitement.

Et meme dans ce cas, je crois que l'equivalence est fausse ...

Nécessairement, , donc on peut écrire ; à partir de là, G est un sous-groupe borné de ssi ssi ssi est un sous-groupe de .

[invite2b14cd41]

Oui, bien sûr, j'aurais dû le mentionner plus explicitement.



Nécessairement, , donc on peut écrire ; à partir de là, G est un sous-groupe borné de ssi ssi ssi est un sous-groupe de .

Milles excuses, vous avez raison.

[Seirios]

Une autre manière de le voir serait de montrer que l'exponentielle complexe forme un isomorphisme dans le langage des groupes entre et G (à condition que les soient déterminés de manière unique, c'est-à-dire en enlevant la dépendance "à près").