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Exo arithmétique (olympiades)



  1. #1
    erff

    Exo arithmétique (olympiades)


    ------

    Bonjour, je voudrais de l'aide pour finir un exo.


    Soit E={1,2,...,280}
    Quel est le plus petit entier n, qui est tel que toutes partie de E à n éléments possède 5 nombres 2 à 2 premiers entre eux.



    Mon début de solution :

    Pour moi, il faut chercher le nombre qui admet le plus de nombre non premiers avec lui...On pense à calculer 2*3*5*7=210 qui semble être un bon candidat.
    Un petit calcul (formule du crible de Poincarré) nous dit qu'il y a 216 nombres qui ne sont pas premiers avec 210...

    Conclusion


    Cependant je n'arrive pas à montrer que 217 convient (ou pas) (c'est là que je demande votre aide).


    Merci

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Exo arithmétique (olympiades)

    Je ne vois pas pourquoi s'attacher plus particulièrement à 210. Le problème n'est pas "dans une partie P de cardinal n il faut que tout nombre de cette partie P, exemple 210, soit premier avec un autre nombre de cette partie P".
    Autrement dit, s'il y a 217 nombres, il y en a certainement de plus intéressants que 210.
    Ceci dit tu n'es pas loin de la réponse à mon avis mais c'est plus de la coïncidence qu'autre chose.

    Il faut appliquer le principe des tiroirs.
    multiples de 2 : ?
    multiples de 3 mais pas de 2 : ?
    multiples de 5 mais pas de 2 ni de 3 : ?
    ...
    nos tiroirs sont formés en considérant le plus petit premier divisant le nombre (1 est mis dans un tiroir tout seul, il est pratique il est premier avec tout le monde).
    Pour trouver un minorant, le principe s'applique sans trop de difficultés.

    Dans le sens inverse, on compte le nombre de premiers,
    si 5 premiers distincts (terminé)
    Ensuite en supposant qu'il y ait moins de 4 premiers, minorer les tiroirs "2", "3", "5", et "7". Il y a toujours un nombre N qui est premier ou produit de premiers autres que 2, 3, 5 et 7. 5 (ce produit ne peut pas en contenir beaucoup).
    Puis montrer que dans le tiroir "7", il y en a assez pour en choisir un M qui est premier avec N.
    Puis dans le tiroir "5", il y en a assez pour en choisir un qui est premier avec M et N.
    ...

  3. #3
    homotopie

    Re : Exo arithmétique (olympiades)

    Hier, je n'avais qu'une idée (la flemme de vérifier les détails est partie aujourd'hui).
    C'est bien 217 (mais 210 ne joue pas de rôle particulier, la "coïncidence" étant que la somme des tiroirs de "2" à "7" est égal au cardinal des nombres non premiers avec le produit (210) de ces 4 premiers).
    Le sens inverse est un petit peu plus compliqué que ce que je n'ai indiqué mais l'esprit reste bien là : faire des sous-tiroirs dans les tiroirs pour obtenir des nombres premiers 2 à 2 avec les nombres d'ores et déjà choisis.

    Je trouve cette méthode un peu compliquée pour une olympiade mais je n'ai pas trouvé plus simple.

  4. #4
    erff

    Re : Exo arithmétique (olympiades)

    Bonjour,

    merci d'avoir répondu


    PS : c'est tiré d'une olympiade internationale il me semble

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : Exo arithmétique (olympiades)

    Un corrigé de ma pomme si ça t'intéresse (ou quelqu'un d'autre) :
     Cliquez pour afficher

  7. #6
    erff

    Re : Exo arithmétique (olympiades)

    Eh bien merci beaucoup pour cette preuve détaillée

    Je relirais tout ça sérieusement demain (j'ai les yeux qui collent là )



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