Dérivé vectorielle

[inviteb783d9f6]

Bonjour.

Je ne sais pas si je suis dans la bonne catégorie du forum car je ne connait pas le niveau de ce qui va suivre.
En essayant de comprendre les concepts de base de la mécanique, je me suis vite aperçu qu'il y avait besoin de dérivés de vecteurs.
Quelqu'un pourrait m'indiquer comment dériver un vecteur ? Je ne trouve aucune explication sur internet.
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[invitecbade190]

Salut :

Si : est une fonction à valeurs vectorielles définie par : , alors : .
Lorsque parfois la base est variable, c'est à dire, au lieu que : soit à valeurs dans muni de la base : , on a : à valeurs dans un fibré : , alors : est une section à valeurs dans une famille d'espace vectoriels dépendant de , c'est à dire : . Et le fibré dépend continument de . ce fibré est muni d'une base mobile : .
Donc, on va avoir un truc comme ça : , et la dérivation dans ce cas là, est ce qu'on appelle connexion , d'abord, on dérive localement sur une trivialisation , et dans ce cas la connexion n'est autre que la dérivée extérieure sur chaque composante. Il y'a plusieurs dérivation qui dépendent d'une matrice et s'écrivent tous : ou mieux écrire : avec et sont des cartes locales de . Ensuite, on recolle les , pour obtenir et une connexion sur tout le fibré .

Attention, lorsque on cherche à travailler avec des bases mobiles, c'est du niveau M1 / M2, donc, tout ça à prendre avec précaution, je ne sais pas quel est ton niveau réel pour voir si tu puisses comprendre ça. C'est de la géométrie différentielle tous ça.

[inviteb783d9f6]

Arf, c'est légèrement impossible à comprendre pour moi tout ça . Je suis seulement en 1e donc. Il n'y a pas de manière plus simple ? Etant donné que la mécanique est abordée en licence (je ne sais pas vraiment si les dérivés vectorielles le sont aussi, je suppose juste).

[invitecbade190]

Où emploies tu les dérivées vectoriels en 1e en mécanique ?
Par exemple, je me souviens quant j'étais lycéen, on avait le trajet d'un objet mobile dans l'espace en fonction du temps qu'on note : , et donc, la dérivée, c'est . C'est tout ce qu'il faut retenir au lycée. Donc, oublie tout ce que je t'ai dit au début.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef29758b5]

Salut
Plus simplement :
Les composantes du vecteur dérivé V' sont les dérivées des composantes vecteur V .

[invitecbade190]

Oui, voilà.

[inviteb783d9f6]

Je n'emploie pas de vecteurs dérivés en 1e, mais la mécanique du lycée me laisse sur ma faim donc je m'intéresse à celle de licence. Mais donc donne le vecteur vitesse de OM ? C'est a dire que pour avoir la dérivée du vecteur on doit dériver par exemple ?

[invitecbade190]

Je laisse la parole aux physiciens qui fréquentent ce forum, parce que, à vrai dire, je suis nul en mécanique du licence. Au licence L1 et L2 ( MP ), on n'utilise la dérivée vectorielle en mécanique que pour modéliser les actions par rapport au temps dans l'espace à 3 dimensions. C'est donc, la même chose que ce qu'on fait au lycée, mais à part ce que j'ai dit dans mon message précédent, on fait aussi l'application du principe fondamental de la dynamique par exemple : ( ce sont des vecteurs à trois composantes ). Donc, au licence L1 et L2 on applique simplement la règle que je t'ai donné dans le message précédent. En L3, je ne sais pas ce qu'on fait exactement, en mécanique du solide par exemple, je vois utiliser des tenseurs ... et on fait un peu de dérivations vectorielles sur ces tenseurs, mais, je ne sais pas comment pour être franc.

[invitef29758b5]

Mais donc donne le vecteur vitesse de OM ?

Ben oui .
Le vecteur vitesse de M est la somme des vecteurs vitesse en x , y et z

Ta dernière formule est mal passée .

[inviteb783d9f6]

Okey, ben merci. Pour la dernière formule je demande si on doit dériver

[invitef29758b5]

Ta formule est incorrecte : Tu as un vecteur à gauche et un scalaire à droite .
La réponse est oui .
Si θ n' est pas constant , il faut dériver comme un produit OMx*cosθ = OMx'*cosθ+OMx*(cosθ)'

[theophrastusbombastus]

Bonsoir,
allez juste histoire de la ramener sur le concept de "dérivation vectorielle". En L1 c'est surtout de la mécanique du point que vous allez voir, la notion de "dérivation de vecteur" n'est pas encore vraiment abordé, ou alors de manière a ne pas avoir a expliquer rigoureusement certains aspects de celle ci. Principalement ce qu'il faut que vous compreniez c'est l'utilisation des différent(e)s bases/repère de projection / dérivation pour les vecteurs. En toute rigueur on dérive un vecteur par rapport a une variable (mettons ) et DANS un repère de derivation , ce que vous pourrez trouver écrit de la manière suivante :

est en fait le vecteur avec une base de projection de l'espace si jamais la base de projection de votre vecteur coïncide avec la base de votre repère (repère de dérivation) alors car le vecteur est "constant" dans .

La où ca deviens intéressant c'est quand le vecteur n'est pas fixe dans la base de dérivation. Voila ce qui va se passer :

un vecteur se décompose en dans un repère cartésien, donc en derivant dans ce même repère :
(j'espere que vous arriverez a suivre...)

et le vrai intérêt de tout ça c'est si on prend un vecteur polaire (par exemple) car sa base de projection a lui (polaire) n'est pas la base cartésienne, il n'est pas fixe dedans ! On peut projeter dans :
on constate qu'on a :
où mais si on note le repere polaire alors :


voila pour poser les bases... j’espère que ca vous aidera a comprendre un peu mieux la mécanique du point. En tout cas chapeau d'avoir le courage de vous lancer la dedans en 1er

[invitecbade190]

Bonne réponse theophrastusbombastus.

[theophrastusbombastus]

petite précision pour être un maximum rigoureux : j'ai écrit (dans la 1er partie) que la dérivée de u était nulle si les bases coïncidaient, c'est faux, il faut que les bases coïncident ET que les composantes du vecteurs soient constantes, du coup le vecteur est constant dans R donc sa dérivée est nulle. Voila, pour le reste il n'y a pas d'absurdités qui me sautent aux yeux même si certains points auraient mérité d’être mieux explique... c'est tout x)

[inviteb783d9f6]

Merci de ta réponse theophrastusbombastus, j'essaye de décortiquer même si c'est un peu hardu, mais on a rien sans rien. Quoi qu'il arrive j'ai pu comprendre comment fonctionne fondamentalement un vecteur vitesse et je sais désormais les tracer, merci .