Bonjour,
J'ai un devoir maison de mathématiques à faire pour lundi dans lequel j'ai assez avancé mais je bloque à une certaine question qui traite du nombre dérivé et de la limite d'une fonction. Je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'aider.
Enoncé :
L'objet du problème est de montrer que la suite de terme général :
Un = 1/1² + 1/2² + .... + 1/n²
converge et de trouver sa limite.
1.a) Calculer J = int(0 à pi) [ (t²/2pi) - t)]dt
Je trouve ici -pi²/3
b) On pose pour tout k entier naturel supérieur ou égal à 1
K = int(0 à pi)[(t²/2pi) - t]cos(kt) dt
Il faut prouver par deux intégrations par partie que K = 1/k² ce que j'ai réussi à faire.
c) On appelle "noyau de Dirichlet" la fonction définie pour tout t appartenant à [0;pi] et pour tout n appartenant à N* par :
Dn(t) = 1/2 + cos(t) + cos(2t) + ... + cos(nt)
Montrer que : Un = pi²/6 + int(0 à pi) [(t²/2pi) - t]Dn(t)dt
On note alors : In = int(0 à pi) [(t²/2pi) - t]Dn(t)dt
J'ai réussi cette question.
2.a)
Vérifier pour tout a et b réels que :
2sin(b)cos(a) = sin(a+b) - sin(a-b)
J'ai réussi grâce aux formules trigonométriques.
b.) En déduire par récurrence que : pour tout t appartenant à [0; pi] et pour tout n de N* :
Dn(t) = sin[(n+(1/2))t] / (2sin(t/2))
J'y arrive (L'initialisation de la récurrence est donnée sur l'énoncé.)
c.) Soit g la fonction définie sur [0; pi] par
g(0) = -1 et g(t) = [(t²/2pi) - t]/(2sin(t/2)) avec t0
en utilisant la limite du cours : lim(t->0) de : sin(t)/t = 1
montrer que g est continue en 0.
J'y arrive en vérifiant que la limite en 0 de g(t) = g(0)
d) Montrer que pour tout n de N* :
In = int(0 à pi) g(t)*sin[(n+(1/2))t] dt
J'ai réussi.
3.a) Montrer que g est dérivable sur ]0; pi] et calculer g'
Jusqu'ici ça va je trouve g'(t) = [ ((t/pi) -1) (2sin(t/2)) - (cos(t/2)) ((t²/2pi)-t) ] / (4sin²(t/2))
b) Montrer que g est dérivable en 0 .
On calculera : lim(t->0) de : [(g(t) -g(0))/t] pour obtenir g'(0)
(On utilisera : lim(t->0) de : (sin(t/2))/(t/2) = 1)
La je n'y arrive plus... je suis presque sur en vérifiant à la calculatrice que la limite vaut 1/(2pi) mais je n'arrive pas à la calculer pour me donner g'(0)
c) Montrer que lim(t->0) de g'(t) = g'(0) grâce aux résultats précédents
Donc g' est continue sur [0; pi]
Je n'arrive pas non plus à calculer la limite en 0 de g'(t)...
Je suis donc bloqué à cet endroit du problème et n'arrive plus à avancer...
Merci de votre aide !
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