exercices d'olympiades qui se focalise sur les racines

[midorima]

Bonjour a tous
Cela fait 3heures que j'essaye de faire cet exercice que
vous voir et constater qu'il est difficile
L'énoncé :
1\simplifie E
E=√(26-6√(13+4√(8-2√(6+2√5))))
(Si quelqu'un n'a pas compris et bien pour faire court, chaque racine prend tout
Ce qu'il ya après elle )

2\ soit a=(√2+√3)÷(√3-1)

Ecris le nombre (√3+1)÷(√2-1) en fonction de a

Je sais que je dois montrer ce que j'ai essayé d'abord
Mais comme vous le constater c'est très difficile et je n'ai rien pu faire ni pour la question 1
Ni pour la 2
La seul chose que j'ai remarqué pour la 1 c'est que avant chaque racine mis a part
La première il y a le nombre d'avant -2
D'abord 6 ensuite 4 ensuite 2
Mais c'est tout je suis bloqué
Et la deuxième je me suis entêté a modifier l'ecriture de a pour trouver une cohérence mis
Je n'arrive a rien
C'est vraiment une urgence
J'aurais besoin d'aide le plutôt possible
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[gg0]

Bonjour.

Une racine ne se simplifie que si elle porte sur un carré. Comme la seule racine simple est la dernière, il te faut essayer de voir si 6+2√5 est un carré. Comme le 2 fait penser à un double produit, tu peux essayer de trouver des nombres a et b tels que (a+b√5)²=6+2√5.

Cordialement

[midorima]

gg0
Je tiens a te remercier de ta reponse rapide
J'ai compris ce que tu voulais dire
Et j'ai trouvé que 6+2√5= (√5+1)^2
Ainsi toute la phrase E est basée sur cette méthode
J'ai ainsi trouvé E=√5-3
Merci gg0
Reste maintenant la deuxième question qui m'a l'air maintenant plus difficile que la précédente

[gg0]

Je ne vois rien d'évident, même avec (√3-1)(√3+1)=2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[midorima]

Bein moi la seul chose a laquelle j'arrive c'est (a+√2)÷(√3) +(1-a)÷3

[imoca]

Bonjour,

E n'est pas négatif.

[midorima]

Imoca
Bien vu
E=3-√5 et non √5-3
Merci pour la remarque
Aurais tu une solution pour la deuxieme ?

[gg0]

Bien vu, Imoca !

J'ai lu trop vite ...

[Tryss2]

Une résolution possible pour la 2), mais je ne pense pas que ce soit celle attendue




Mais est racine d'un polynôme de degré 4 :

Donc

Ce qui nous donne





On note cette expression

On a donc, en revenant à l'expression de départ,



Et donc



S'en suit que

[imoca]

En utilisant les expressions conjugées : on obtient une relation de la forme p*a+q avec p et q entier.

PS : L'expression conjuguée de rac(3)+1 est -rac(3)+1