Une simplification de racines carrés qui est complexe ( exercice d'olympiades)

[invite544bd044]

Bonjour
Ici un exerxixe qui consiste a simplifier une ravine carré jusqu'à trouver un nombre
Naturel mais qui m'a l'air compliqué
Voici l'énoncé :
Trouve le montant qui est un nombre naturel
√(17-√288) +√(15-√224) +√(13-√168) + √(11-√120) + √(9-√80)
Ce que j'ai essayé
En la simplifiant normalement je trouve :
√(17-12√2) +√(15-4√14) +√(13-2√43) +√(11-2√30) +√(9-4√5)
Bref ça ne m'amène a rien
Si ça peut aider
J'ai remarqué que le nombre naturel qui se trouve sous la racine diminue a chaques
Fois avec écart de 2
17=>15=>13=>11=>9
C'est comme qu'on soustrait 2 a chque fois

Et j'ai aussi remarqué que si on ecrivait le nombre naturel comme la racine de son carré
On trouve le nombre de la racine de la racine +1
Par ex : 17=√289 289=288+1
15=√225 225=224+1
Ainsi de suite

Svp aidez moi
Je suis bloqué dans cet exercice d'olympiades
-----

[invite23cdddab]

Personnellement, je me servirai du fait qu'on sait que c'est un nombre entier, pour encadrer chaque terme, et donc obtenir le résultat.

Par exemple,




Donc

On fait de même pour les autres termes (une fois qu'on a le premier, ça vient "tout seul"):




Donc




Donc




Donc




Donc


Et alors la somme S vérifie
Donc S=1, puisque c'est un entier.


Notons toutefois que je ne sais pas si c'est la méthode la plus simple, et elle n'est pas évidente si on a jamais vu cette idée (et ici on a de la chance que les majorations par des carrés marchent bien)

[gg0]

Bonjour.

On peut essayer de voir si les quantités sous les radicaux ne sont pas des carrés parfaits.
En posant on trouve
a²+2b²=17
ab=6
S'il y a une solution simple, a et b sont des entiers, et en regardant les diviseurs de 6 on voit que a=3, b=2 convient.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

On peut aussi remarquer que tous les termes sont de la forme , or peut s'écrire comme un carré(cf. suggestion de gg0).

En faisant ainsi on comprend pourquoi cela marche ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Ce qui est beaucoup plus élégant que ma méthode

[gg0]

Bien vu, Médiat !

[invite544bd044]

Bonjour
Je m'excuse de ne pas avoir répondu plutôt pour des problèmes de connexion
E' tous cas je vous remercie tous pour vos réponse ceci dit il reste
Que je n'ai pas encore tout a fait compris
Tryss2 ta méthode est comme tu l'as dis compliqué cependant j'aimeraisbien la comprendre et savoir comment tu as fais
Comment tu fais our savoir le nombre qui soustrait par exemple 9-1÷16 le 1÷16 d'ou l'as tu tiré
Et les barre / ont ils un sens ?
Merci pour ta réponse


Gg0
Ta méthode est logique mais ne m'avance pas a grand on a tire a et b est ça nous avance a quoi

Médiat
Et bien moi aussi j'ai utilise cette methode en mettant a chaque fois a-2 puis a-4
Mais comme pour gg0 ça ne m'a pas beaucoup avancé


Svp repondez moi
Et merci

[gg0]

Manifestement, naomine,

tu as commencé le travail, puis tu t'es arrêté en route. Comme a et b sont des entiers, on a une écriture bien plus simple, on finit le travail et on a une heureuse surprise.
"C'est le travail qu'on ne commence pas qui est le plus long à finir" (Sam le Hobbit - Tolkien)

Cordialement.

[invite23cdddab]

Tryss2 ta méthode est comme tu l'as dis compliqué cependant j'aimeraisbien la comprendre et savoir comment tu as fais
Comment tu fais our savoir le nombre qui soustrait par exemple 9-1÷16 le 1÷16 d'ou l'as tu tiré
Et les barre / ont ils un sens ?

Les barres c'est la division. Juste parce que j'avais la flemme de taper \frac{1}{16^2}, j'ai préféré taper 1/16^2 (mais visiblement j'aurai pas du)

Sinon, j'ai cherché à encadrer racine(a²-1) par a-b² et a-c². En effet, racine(a²-1) est un nombre un tout petit peu plus petit que a. Et pourquoi b au carré ? Parce que l'on soustrait a (donc il va rester b²) et que l'on prend ensuite la racine (reste alors b)

Pour l'encadrement, en passant au carré, on a

a²-2ab²+b^4 < a²-1 < a²-2ac²+c^4

La puissance 4 est très vite négligeable, donc on en revient à trouver b et c tels que 2ab² > 1 et 2ac² < 1. Comme b et c sont petits, je les ai cherché de la forme 1/n (pour que ce soit facile à additionner plus tard).

Donc j'ai regardé, pour le terme en racine(9²-1) :
2*9/1² = 18 > 1
2*9/2² = 18/4 > 1
2*9/3² = 18/9 > 1
2*9/4² = 18/16 > 1
2*9/5² = 18/25 < 1

[Médiat]

Bonjour,

Et bien moi aussi j'ai utilise cette methode en mettant a chaque fois a-2 puis a-4
Mais comme pour gg0 ça ne m'a pas beaucoup avancé

Pourtant, une fois trouvé la forme carrée de , le résultat est, au sens strict, évident.

[invited8d9e610]

Re bonjour
Pour faire bref
J'ai bien compris le truc du a-√(a^2-1)
a =17
Mais il est ecrit qu'il faut trouver le carré de cette forme qui elle même est un carré
La je bloque

[zenxbear]

a est impair. ecrit a=2p+1 et regarde la formule

[gg0]

Re bonjour
Mais il est ecrit qu'il faut trouver le carré de cette forme qui elle même est un carré

Je ne sais pas où tu as vu ça, il est seulement écrit qu'il faut l'écrire comme un carré. Comme le carré d'autre chose ...
Pour simplifier une racine carrée, trouver un carré dessous est bien la bonne idée, non ?

Cordialement.

[invited8d9e610]

Bonjour
J'ai essayé de tirer le carré des formule
Et a la fin je trouve
√9-√8+√8-√7+√7-√6........-√4
Puis 3-2=1
C'est ça , non ?

[zenxbear]

oui. et donc l'idée en regardant était de dire ... ?

[invited8d9e610]

Eeuuuh...
Qu'il y a un double produit ?

[invited8d9e610]

Je voudrais bien savoir l'utilité d'ecrire les a,b dans les formules

[zenxbear]

termine... double produit donc ca devient quoi...en fonction de p? montre moi que tu a trouvé et non pas deviné en tâtonnant.

et l’intérêt d’écrire avec a et p est de reconnaître une structure à la somme et donc de pouvoir fabriquer d'autres exemples:

[invited8d9e610]

Tu veux que je fasse l'exemple que tu m'a donné ?

[zenxbear]

je veux que tu sois précis, clair, simple. Tu dis il y a un double produit, met en évidence le double produit, et réecrit ca sous une forme très simple en fonction de p.

après le reste c'est du jeux.

[invited8d9e610]

D'accord je vais t'expliquer comment j'ai fais
Mais sans faire i'intervenir le p
√(19-√360)
Pour se débarrasser de la racine il fallait que (19-√360) soit ecrit
Sous la forme d'un carré
J'ai donc fais sortir le 2 de la racine et j'ai eu 19-2√90
J'ai alors tout de suite compris et je l'ai ecris 10-2√9*√10 +9
Or (√10-√9)^2
C'est comme ça que j'ai fais pour les autres ça deviens un jeu

[zenxbear]

c'est ok. MAIS il faut apprendre à manipuler des lettres et bien plus important détecter une structure qui se répète. puis ... te crient aux yeux "quelque chose se passe si a et impair. C'est pour cela qu'on introduit une lettre, et cherche la simplification de la formule en p. Spécialement quand on l'as faite 4 fois mais avec une valeur particulière de p.

C'est une des qualités fondamentales que l'on pratique quand on fait des maths.

[invited8d9e610]

Oui merci pour le conseil
Mais j'aimerais comprendre mieu
Quelque chose se passe si a est impaire
Quelle est cette chose
Pourquoi l'ecrire sous la forme de 2p+1
Est ce pour comprendre que a = x +x+1 ?
Et pourquoi a-√(a^2-1) comment peut on tirer le carre de la formule sous cette forme la ?
J'aimerais vraiment bien comprendre

[zenxbear]

que ca soit dans la version plus simple avec p (dans le cas a impair) ou directement dans l'expression donnée par gg0 il y a un double produit à identifier sous la racine.

Tu as fais ceci pour des valeurs donnée de a et p pour trouver les et les , mais tu n'arrives pas refaire cela et à aboutir pour une expression en lettres sympa, qui explique la simplification.

Je ne sais pas comment expliquer sans donner la réponse. Je trouve l'expression avec p, plus simple à deviner.

[invited8d9e610]

√[2p+1-√(2p+1)^2-1]
On prend ce qu'il y a sous la 2eme racine
Et ça devient (2p+1)^2 - 1^2 = (2p+2)(2p) = 4p^2+4p = 4[p(p+1)]
Notons aussi que 2p+1 = p +(p+1)
On remplaçant dans la formule :
√[p+p+1-2√p(p+1)]
Ce qui nous fais pensé au double produit
Surtout quand on voit p+p+1 et que sous la racine p(p+1)
Et donc on résumé : on peut écrire la formule comme √(√p+1 -√p)^2= √p+1 -√p

Suis je arrivé au bon résultat ?

[zenxbear]

bien sur. tu vois qu'on a un somme de termes d'une suite u_p , avec des termes qui se simplifient 2 à 2 quand on les ajoute. là tu peux écrire en fonction de et trouver une expression en .

ce qu'on te suggérait avec était de deviner ce dernier double produit directement sans passer par p. mais un peut moins évident à voir.

[invited8d9e610]

Re bonjour
J'ai essayé avec le a mais ce n'est vraiment pas évident
Comment peut on tiré le 2 pour voir qu'il y a le double produit
Pouvez vous me montrer le démonstration

[zenxbear]

le

[Médiat]

Bonjour,

Il suffit de remarquer que (a² - 1) =(a + 1)(a - 1).

[invited8d9e610]

Bein j'avais remarqué que (a²-1)=(a-1)(a+1)
C'est surtout quand il faut multiplier par √2÷√2 qui n'est pas très evident
Enfin moi ça ne m'es pas venu venu a l'esprit