Bonjour tous le monde,
Tout d'abord je tiens à préciser que ce topic est mal placé seulement il m'étais impossible de poster dans la partie étudiante donc si un administrateur pouvait le déplacer à ma place ce serait sympa, merci d'avance.
Ceci est dans le cadre d'un DM sur lequel je bloque depuis deja 2 heures c'est pourquoi je m'en remet à vous.
⎧a -b⎫
Soit n∈N* pair, on note les matrices M(a,b)= ⎩b a⎭
Nous avons A une matrice de Mn ne possédant pas de valeurs propre réelle.
On veut montrer l'implication entre les 3 propositions suivantes:
(i) A est semblable à une matrice du type diag(M(a1,b1),...,M(ap,bp)) avec (ak,bk)∈RxR*+ pour 1≤k≤p où n=2p
(ii) Il existe un polynome réel à racines complexes non réelles annulé par A.
(iii)Tout sous espace vectoriel de R^n de dimension 2 stable par A possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par A.
Je cherche à démontrer (ii)⇒(iii) sachant que (i)⇒(ii) est déjà prouvé.
Je suppose donc A vérifie (ii) et E un sev de R^n de dimension 2 et stable par A. Soit (f1,f2) une base de E que l'on complete en une base (f1,f2,...,fn) de R^n.
⎧A' B⎫
Question 1:J'ai déjà montrer que l'endomorphisme canoniquement associé à A a une matrice s'écrivant par blocs:⎩0 C⎭ avec A'∈M₂.
Question 2:Ainsi que A' n'admet pas de valeur propre réelle et qu'elle est semblable à une matrice du type M(a,b) avec a,b∈RxR*+
Question 3:Et que E⊂Ker((A-aIn)²+b²In).
J'arrive enfin à ma question qui me préoccupe tant:
Question 4:Montrer que Ker((A-aIn)²+b²In) possède un sous espace vectoriel supplémentaire stable par A dans R^n.
Je suppose qu'il faut que j'utilise l'information tiré de la question précédente, mais COMMENT?
Si une personne qui ai le courage de lire mon énoncé puisse me donner une petite piste de raisonnement ou tout autre chose qui puisse m'aider, merci d'avance.
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