Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

[invitef8c73274]

Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à montrer que n'admet que des racines simples. Je vois bien qu'il faut montrer que P(a)=P'(a)=0 est impossible à résoudre mais ca ne marche pas. J'ai aussi calculé P-P', afin d'essayer de montrer que cette différence ne puisse pas être nulle, mais idem, pas réussi.
Des idées?
merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
Je pense que tu es sur la bonne voie.
P'(a)=0 revient à dire . Donc si P(a)=0, on obtient . D'où a=a+1...
Je te laisse faire ça proprement et traiter les cas particuliers qui peuvent gêner.

[invité576543]

J'ai aussi calculé P-P', afin d'essayer de montrer que cette différence ne puisse pas être nulle, mais idem, pas réussi.

P-P' était une bonne idée... Mais il n'y a pas que P-P' comme combinaison de P et P'. Si P et P' ont une racine en commun, alors elle est racine de toute combinaison Q(X)P+R(X)P'... Suffit d'en trouver une qui va bien!

Cordialement,

[invite88ef51f0]

Oui, ce qui te bloque c'est effectivement que tu as perdu l'info que P(a)=0. Certes P(a)=P'(a) mais ça ne suffit pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8c73274]

okey merci beaucoup
Je dois aussi trouver les racines (simples, du coup) de ce polynôme, et re bloqué.
J'étais parti sur le binôme de Newton :




Mais ca ne m'amène qu'ici

[invitec317278e]

Puis racines de l'unité.

[invitec317278e]

Puis racines de l'unité.

[invitef8c73274]

Merci,
je trouve que les racines sont de la forme
Ca m'a l'air d'être bon
Bonne journée!

[invitec317278e]

Fais attention de bien exclure le cas k=0 dans la réciproque