Déterminer un vecteur normal à un plan

[invite3609cf67]

Bonjour tout le monde

Donc pour trouver un vecteur normal a un plan 'n(a,b,c)' la méthode qu'on ma enseigner c'est chercher 2 équation et fixer une coordonnes de 'n(a,b,c)'

3 point non aligner son donner A,B,C


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[invitee351071a]

Salut !

Pour trouver un vecteur normal à un plan, il faut que tu aies une équation cartésienne de ce plan.
Par exemple :
P : ax + by + cz + d = 0

Ici, le vecteur normal au plan P est :
n (a ; b ; c)

Peut-être que c'est autre chose que tu voulais, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ton exo.

Je suis en TS, toi aussi ?

[invite3609cf67]

Bonjour tout le monde

désolé pour le premier message j'ai poster le message sans avoir terminer de le rédiger
Donc pour trouver un vecteur normal a un plan 'n(a,b,c)' la méthode qu'on ma enseigner c'est chercher 2 équation et fixer une coordonnes de 'n(a,b,c)'

si on a 3 point non aligner : A,B,C

n(vecteur).AB(vecteur)=0 t n(vecteur).AC(vecteur)=0 donc supposons on trouve:b=c et a=2b la on donne une valeur arbitraire a une coordonné par exemple b et trouvera les autre mais pourquoi pas fixer 2 coordonné et travailler avec une seul équation ? c'est faux de faire ça ??

Merci

[invite3609cf67]

Heu non j'habite pas en France

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

En fait, les vecteurs normaux au plan sont tous colinéaires. Si n(a,b,c) est normal au plan, et k est une nombre non nul, k.n(ka,kb,kc) est encore un vecteur normal au plan. prendre b=1, par exemple, revient à choisir k =1/b pour le vecteur k.n.
Par contre, si tu prends a=2, b=1, il n'y a aucune raison que (2,1,c) soient les coordonnées d'un vecteur normal.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

si on a 3 point non aligner : A,B,C

n(vecteur).AB(vecteur)=0 t n(vecteur).AC(vecteur)=0 donc supposons on trouve:b=c et a=2b la on donne une valeur arbitraire a une coordonné par exemple b et trouvera les autre mais pourquoi pas fixer 2 coordonné et travailler avec une seul équation ? c'est faux de faire ça ??

Bonsoir SuhDude,

Oui, travailler avec une seule équation est faux en général (insuffisant). En effet, par définition le vecteur normal d'un plan est orthogonal à tout vecteur du plan. On sait qu'un vecteur n est orthogonal à un vecteur v s'si n.v = 0.

Donc la méthode exposée ici consiste à imposer que n soit orthogonal à tous les vecteurs v du plan: n.v = 0 pour tout v dans le plan. En fait, il n'est pas nécessaire de tester tous les vecteurs du plan (il y en a une infinité). Il suffit d'imposer que n soit orthogonal à deux vecteur non-colinéaires du plan pour qu'il soit orthogonal à tous les vecteurs du plan. En effet: un plan est défini de manière unique par deux vecteurs non-colinéaires. --> d'où deux équations.

Si on n'impose l'orthogonalité avec un seul vecteur (un seule équation), cela est insuffisant: il y a une infinité de plans qui contiennent un vecteur donné. A quel plan parmi cette infinité n doit alors être orthogonal ?

Tu remarqueras que n possède 3 coordonnées (inconnues) et que tu as deux équations. Tu restes donc avec un degré de liberté (une inconnue non fixée). Peu importe la valeurs de cette inconnue restante, tous les vecteurs n que tu obtiendras seront bien orthogonaux au plan voulu. Cette inconnue restante contrôle la longueur de ton vecteur et si un vecteur n est orthogonal à un plan, alors les vecteurs 2n, 3n, pi n,... le sont aussi. En général, on fixe cette dernière inconnue par convention en imposant que n soit de longueur 1.

[invite3609cf67]

si on prends a=2, b=1, et qu'on travaille avec une seul equation celle de n(vecteur).AB(vecteur)=0 par exemple et que n(vecteur).AB(vecteur)=-2a+b+3c=0
alors c=1 donc n(2,1,3) l’équation et bien vérifier si on remplace a ,b,c dans -2a+b+3c=0 mais ce vecteur n ne sera pas colinéaire avec un autre vecteur normal au plan

[gg0]

Désolé, Suhdude,

mais si tu décides du plan après avoir choisi le vecteur normal, tu ne fais pas la recherche d'un vecteur normal à un plan. A priori, cette question concerne un plan connu.
Essaie donc avec le plan d'équation 5x+9y-11z=3. Tu prends (2,1,c) et tu cherche c pour qu'il soit normal au plan.

[invite3609cf67]

Oui Oui t'as raison c'est bon j'ai Compris merci pour l'explication

[invite3609cf67]

Paraboloide_Hyperbolique Merci beaucoup c'est claire maintenant