Bonjour, jessaye de trouver les n dans N pour lesquels :
(2^k)(4/3 * 4^n - 1/3) - 1 est divisible par 3 avec le parametre k dans N
Je nai aucune idee de comment proceder, pourriez vous maider (jai essaye avec les congruences mais je vois pas comment faire avec les puissances)
Merci
ton equation est
une fois que tu réalises pq l'expression de gauche est bien un entier.
écrit le terme de gauche, modulo 3, pour différentes valeurs de k et n, genre (k=0 à 5), et (n=0 à 4) , tu verras quelque chose apparaître, spécialement si tu fais attention àet
tu peux alors formuler une stratégie et rédiger.
Salut,
mod( u ^n , p ) = mod( mod(u,p) ^n , p )
j'allais dire comme zenxbear qu'il faut s'intéresser à 4^n -1 modulo 3.
peut être plus facile à rédiger avec des modulo 9.
bon, alors disons qu'il faut s'intéresser séparément aux 2 facteurs
bonjour,
pour démarrer , on montre ( par récurrence ) que
On en déduit de suite par exemple que si
il n'y a aucune solution qcq soit k.
ensuite on continue en fct des 2 autres modularités de n et de la parité de k.
Cdt
Si je te donne "1+2+... +n= n(n+1)/2" à démontrer, tu peux procéder par récurrence. Néanmoins tu ne le feras JAMAIS, car tu sais la signification de cette formule, et tu sais que ce n'est pas de la magie. Donc tu écris démonstration de manière à refléter cela.
Si tu n'as pas de temps, si cette formule semble sortir de nulle part, ou si le problème lui même appelle une récurrence, tu sors ta récurrence.
Je pense fortement qu'il faut apprendre à éviter la récurrence dans des exos comme ca. S'il a pris la peine d'écrire
ou
S'il a aussi pris la peine de calculer
ou
Bonjour,
que vaut
zero. 4^{n+1}-1 est divisible par 3. Identité remarquable donne que c'est le produit de
on cherche
Dernière modification par zenxbear ; 29/05/2016 à 14h08.
tout à fait, ( et on la trouve reliée à n+1) , après on déroule facilement.Envoyé par zenxbear
on cherche
l'autre manière est de dire quezero. 4^{n+1}-1 est divisible par 3. Identité remarquable donne que c'est le produit de
(4^(n+1)-1)/3 = sigma(0;n) 4^k ( somme d'une suite géométrique ), donc c'est bien un entier...
en passant par l’écriture géométrique pour trouver n+1 c'est joli.
Bonjour, dabord merci de vos réponses
Alors avec vos réponses j'ai fait ça :
2^k (4/3 * 4^n - 1/3) = 1mod3
(2^k (4^(n+1) - 1 ) / 3 =1mod3
donc
2^k(4^(n+1)-1)=0mod3
et par récurrence j'ai montré que ça c'était vrai pour tout n (car 4^(n+1) -1 est divisible par 3 quel que soit n)
sauf que ça ne marche pas quand on prend nimporte quel n pour nimporte quel k au début, je sais pas où est mon erreur de raisonnement
comment trouves tu :
c'est faux.
j'ai donné la piste plus haut.
l'idée est de chercher au début le modulo [3] de
On le trouve facilement en fonction de n+1.
je l'ai fait pour ma part par récurrence, en vérifiant une conjecture après avoir observé les premières valeurs.
ensuite, cela va assez vite.
Faux ? mais c'est l'hypothèse de départcomment trouves tu :
c'est faux.
j'ai donné la piste plus haut.
l'idée est de chercher au début le modulo [3] de
On le trouve facilement en fonction de n+1.
je l'ai fait pour ma part par récurrence, en vérifiant une conjecture après avoir observé les premières valeurs.
ensuite, cela va assez vite.
Mais je crois que je viens de trouver mon erreur en me relisant : j'ai multiplié par 3 mais j'ai pas multiplié le modulo par 3 ?
Et au final je trouve que n = 3m avec m€N
le terme
Relis ton énoncé: on fixe le paramètre k. Ensuite, on "cherche les n" tel que
toi tu viens de réécrire l’énoncé en faisant tomber le 3 dans le dénominateur. Et bin sur:
ansset t'as fait remarqué qu'en regardant
donc peux être 0, 1 ou 2 selon les cas, ce qui est conforme avec ton calcul avec quelques cas pour n.
on t'a fait remarquer que
maintenant tu résous.
Dernière modification par zenxbear ; 29/05/2016 à 23h39.
Je comprends vraiment plus rien je vais voir demain
mais je vous remercie de vous acharner sur mon cas desespéré
ne lâche pas.
si tu as compris le début, la suite n'est pas si complexe.
@zenxbear:
dans mon résultat final, concernant k, il n' y a que sa parité qui intervient.
je t'envoie un MP sur mes résultats si tu veux.
Cdt.
ps pour la congruence de
c-a-d quand on a vu sur les tous premiers termes ( j'avais pris la somme de la suite ) sont congru à n.
soit
et comme proposé, il suffit de regarder si k est pair ou impair ensuite,
k=2p ou k=2p+1 pour avoir les congruences de la formule globale:
On peut aussi passer par la somme de la suite, c'est juste une autre manière de procéder.
j'avais fait les deux par... "jeu".
Cdt
