Une question de stats simple mais pour laquelle je ne trouve pas de réponse si simple

[Milos32]

Bonsoir à tous,

J'ai une question qui est certainement simple, mais pour laquelle je ne trouve pas de réponse sur Internet, et pour laquelle si je me lance seul j'ai peur de faire des erreurs grossières tant dans les problèmes mêlant combinaisons, arrangements, permutations, etc.. il est facile de très mal s'embarquer et d'avoir tout faux, c'est pourquoi je demande votre aide.

Imaginons que 16 personnes aient à être tirées au sort pour remplacer au débotté les 7 jours de garde de la 17ème personne en arrêt de travail.
Le tirage se fait au sort, jour par jour, parmi les 16 personnes restantes.
- s'il y a remise, quelle est la chance que l'une des 16 personnes soit désignée 0 fois, ou 1 fois, ou 2.. ou 7 fois ?
- s'il n'y a pas remise, quelle est la chance que .. (exactement la même question)

Avec remise, il semble évident que la chance de n'être jamais désigné sur ces 7 jours est de (15/16)^7 soit environ 64% (arrêtez moi si je me trompe).
Sans remise, de 15/16 x 14/16.. soit environ 12%

Après, avec ou sans remise, pour 1 garde sur 7, je crois que ça se complique un peu et qu'il faut tenir compte des permutations avec une factorielle de 7 comme il n'importe pas que cette garde sur 7 survienne le 1er ou le 7ème jour.

Ma question est celle d'une formule générale, pour ne pas avoir à considérer le cas par cas dans une situation cauchemardesque genre 10^3 personnes possibles tirées au sort pour faire des gardes parmi 365 jours possibles et tout ça, avec ou sans remise.

Pourriez-vous m'aider à avoir des formules générales pour ces probabilités d'avoir x gardes pour chacun de y personnes et z jours, et ceci avec ou sans remise ?

Le problème est réel, avec actuellement 16 personnes mais un nombre de gardes à pourvoir pas tout à fait certain et ce nombre de 16 personnes pouvant éventuellement varier.
Aussi au delà du problème statistique (pour lequel si je me trompe ça ne regarderait que moi), dans ce problème réel gît la source d'un certain mécontentement voire d'un mécontentement certain si je disais n'importe quoi, notamment sur la différence entre "avec remise" et "sans remise" si le nombre de personnes tirées au sort devenait infortunément inférieur au nombre de gardes à pourvoir.

Merci à vous de votre aide,

Milos
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[gg0]

Bonjour.

S'il y a remise, et que les tirages sont indépendants, on a un schéma de Bernoulli et le nombre de remplacements d'une personne donnée suit la loi binomiale.

Sans remise, il n'y a que deux cas : soit 0, soit 1 remplacement. Le calcul du cas 0 remplacement est bien celui que tu as fait.

Si tu veux généraliser, tu as tout ce qu'il te faut.

Cordialement.

[Milos32]

Merci beaucoup de ta réponse et de ta gentillesse.

Je vois bien le rapport avec ce schéma de Bernoully, mais je n'en trouve pas sur Internet (ou dans Maple dont je dispose) une variante où comme tu le dis, il suffit de mettre soit 0 soit 1 pour indiquer qu'il y a remise ou pas.
A vrai dire je ne vois que des formules où a priori il y a remise (genre pile ou face).

Aurais-tu s'il te plaît un lien qui donne une idée du calcul où l'indication de 0 ou 1 indique la remise ou pas ?

Pardonne-moi de demander ainsi de prémâcher mon travail, ce n'est pas mon souhait ni mon habitude, j'ai cherché une semaine avant de poser ma question.

Mais avec ce 0 ou 1 pour la remise, je ne vois aucune version du schéma de Bernoully qui intègre ce paramètre, non plus que dans Maple (où d'ailleurs les nombreux travaux de Bernoully noient cet apport à la statistique).

Si tu avais donc un lien permettant de voir cette formule avec ce 0/1 ça rendrait service, à la fois à moi-même qui devient de plus en plus gâteux - à 62 ans je n'ai plus fait de maths depuis la terminale C et encore en rabâchant des formules, rien d'inventif - mais beaucoup aux lycéens dont c'est si je lis bien au programme de seconde ou première..

J'espère ne pas t'importuner, mais je ne vois pas cette formule de Bernoully avec remise ou pas, et je vois bien qu'elle ne sera pas visible, comme je n'en voyais rien sans la formule magique de "schéma de Bernoully" dont on ne nous parlait pas à mon époque.

D'avance merci si tu veux bien encore perdre un peu de temps là dessus, et très amicalement,

Milos

[gg0]

Tu devrais commencer par réfléchir toi-même à comment fonctionne la situation avec remise. Le schéma de Bernoulli (avec un i) est simple, tu peux comprendre seul pourquoi il fonctionne s'il y a remise. Bien évidemment, comme il n'a rien à voir avec la question remise ou non, tu ne trouveras rien sur Internet. Quant au 0 ou 1, on s'en moque ici (0 c'est "pas choisi", 1 c'est "choisi"). Revois un bouquin qui présente la loi binomiale, tu comprendras. Par exemple un cours de BTS.
J'ai parlé de schéma de Bernoulli, mais un cours de BTS parlera plus directement de la loi binomiale et de quand elle est adaptée : Répétition d'expériences indépendantes de même probabilité de réussite.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Milos32]

SVP ne m'engueule pas trop, j'ai bien dit avoir cherché quelque temps avant de me décider à poser la question. J'ai par mon cursus des connaissances très disparates, et s'il me semble évident que les lois binomiales impliquent une indépendance des tirages, je n'avais pas réalisé que l'absence de remise rend justement les tirages plus vraiment indépendants. Ce que je lis indique donc qu'avec remise on suit une loi binomiale, et que sans remise on va vers une loi hypergéométrique (ce qui ne veut pas dire grand chose pour moi, comme mon niveau est suffisamment faible pour seulement chercher une "recette" - j'admire les mathématiciens qui savent reconnaître des similarités où personne n'en voit, etc..).
Donc je cherche, et ne vais plus t'embêter ni les lecteurs du fil, sauf peut-être pour vous soumettre des conclusions finales pour que vous m’empêchiez de dire trop de sottises.
Merci encore et cordialement,
Milos

[gg0]

Ne cherche pas trop pour le cas "sans remise", tu l'a déjà presque fait. Relis simplement le message #2.

Cordialement.

[Milos32]

Après quelques recherches, je trouve ce qui tombe très bien dans des cas triviaux;

The hypergeometric distribution is a discrete probability distribution with probability function given by:
/
f(t) = piecewise|t < 0, 0, X < t, 0,
\

binomial(X, t) binomial(M - X, m - t)\
-------------------------------------|
binomial(M, m) /
subject to the following conditions:
0 <= M, m <= M, X <= M, 0 <= m, 0 <= X, M::integer, X::integer,

m::integer
The hypergeometric distribution is a consequence of a sequence of repeated trials (such as drawing balls from an urn) whereby items drawn are not replaced after each trial. In each trial, there is assumed to be a certain number of successes remaining that could be obtained. This distribution measures the probability of achieving a certain number of successes after all trials are complete.

Mais je me demande bien pourquoi ne pas me le dire tout de suite ? J'avais bien dit avoir cherché avant d'oser poser la question.

[gg0]

Je ne sais pas pourquoi tu vas chercher des choses compliquées.

Pour une personne donnée, je te l'ai dit, il n'y a que deux cas possibles, elle est choisie, ou pas. Tu sais calculer la probabilité qu'elle ne soit pas choisie (tu l'as fait dès le premier message), donc tu sais calculer la probabilité contraire. Je t'ai tout dit au message #2, tu pouvais terminer tout de suite.
mais au lieu d'appliquer tranquillement les règles de base que tu connais, tu es allé chercher des réponses toutes faites sur Internet.