Bonjour,
Je voulais savoir si il existait d'autres méthodes de résolution de ce type d'équation, par simple curiosité Peut-on appliquer la méthode de la "balance" comme on fait aux équations du 1er degrés pour mieux visualiser ?
Merci, cordialement.
la méthode des balances n'a pas de sens ici. L'unique méthode systématique pour factoriser un polynôme de degré 2 est de retrouver sa forme canonique.
Néanmoins, si les racines sont entières il est facile de montrer la factorisation graphiquement par la "méthode des tuiles" comme j'explique ici:
tu peux faire toi même faire les dessin pour par exemple
tu peux aussi voir pourquoi des fois il n'y a pas de factorisation avec cette méthode
Ok, merci
l'exemple se réduit à trouver a et b entiers tel que
et
mais représenté sous forme tableau simple. La première fois on essaye avec -1 et 6, et la seconde avec -2 et 3. il est probable qu'un élève fasse un 3ieme dessin, et essaye avec 1 et -6 (il met le rectangle vert horizontalement en dessous du bleu).
Mais c'est probablement à la portée d'un collégien, 5ieme? se renseigner auprès de vrais profs de maths.
Merci zenxbear. Quand tu met a x b = - 6 et a + b = 1, a et b représente les racines ?
Merci.
non, ca représente le coefficient dans la factorisation du polynomial, donc en effet, c'est (- racines du polynôme). quand la piece sera validée du comprendras.
Ok.
En faite, ce qui me gène dans les polynômes, c'est comment à partir de la courbe sur le graphique, on n'a pu déterminer les coefficients a, b et c qui sont constant. Je veux dire la logique qu'il y a derrière.
J'ai "y", et il faut que je décompose "y" en somme de 3 termes, dont un abrite une variable élevée au carré multipliée par un coefficient constant, l'autre un terme en x à la puissance 1 multiplié par un terme constant et l'autre uniquement une constante. Pas facile.
bein, pour un polynôme
b est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
autre manière de regarder, c'est le double de la pente de la droite qui passe par
la dérivée seconde au point x=0 est 2a. c'est pas très parlant, mais c'est lié au rayon de courbure.
du coup, en fait a est le rayon de courbure de la parabole à l'extremum.
Merci zenxbear. Aurais tu un exemple avec une représentions graphique si cela ne te dérange pas ? Sinon pas grave, mais merci pour tes explications
ca te ferais du bien de retrouver, voire peut-être corriger ces valeurs. c'est d'ailleurs probablement dans ton cours. le foyer de la parabole et rayons de courbures sont plus élaborés, mais tu peux regarder dans wikipedia. de toutes facons tu peux les calculer toi même aussi assez facilement.
et je ne vois pas trop la relation avec la question initiale...
Dernière modification par zenxbear ; 25/06/2016 à 18h02.
Merci à toi. J'ai pu le visualiser sur un graphique. Et ax2, a t'il un lien avec la tangente ?
Merci.
En faite j'arrive mieux à visualiser avec ces histoires de tangentes les polynômes. En faite, on part d'un fonction affine, à laquelle au on ajoute ax2 pour lui perdre le caractère de "droite" de la courbe.
Merci pour ce schéma !
En faite, cela me parle mieux en terme de "droite" que de courbe. Le "ax2" peut se voir comme le fait que la tangente à la courbe circule le long de la parabole, comme si on superposer de manière infini la tangente, une succession de coefficient directeur, c'est bien cela ?
Je ne comprends pas ce que tu essayes de dire.
a est relié à la dérivée seconde, en d'autre terme à la variation de la pente de la tangente à la parabole.
Si je regarde le point d’abscisse x. Et si p est la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Alors au point d'abcisse x+1 de la parabole, la pente de la tangente est p+2a
Si a est nul, la pente ne change pas. c'est une droite.
En particulier, pour le sommet de la parabole S de coordonnées
On sait que la tangente est horizontale, car la courbe atteint un extremum. Sa pente p est nulle.
Donc au point d’abscisse -b/2a+1, la pente de la tangente est 2a.
Ou encore, au point P d’abscisse -b/2a+ 1/2a, la pente de la tangente est 1.
Parabole.png
Tu vois apparaître le foyer F de la parabole (qui a la même ordonnée que P), tu vois C le centre du de cerble de courbure en S. Et la distance CS=1/2a est le rayon de courbure de la parabole en son sommet.
Plus a est grand, plus le rayon de courbure est petit.
Inversement, si a est infini, on a une droite, et son rayon de courbure est infini.
Merci pour tes réponses c'est gentil
C'est bien ce que je voulais dire concernant "a", c'est comme si on calculer la pente de la tangente à la parabole en chaque point de la parabole justement. C'est le fait qu'elle perde le caractère de "droite" à cause du x2 qui me perturbe.
En faite, ax2 + bx + c, on pourrait l'exprimer autrement finalement.
la pente de la tangente est 2ax+b. elle varie selon x.
prend un stylo, dessine séparement 1+x, et x^2. ensuite dessine 1+x+x^2
Ok, je vais le faire
Don le ax2 vient bien de la dérivée ? D'ou le fait que l'on n'est plus une droite.
non. soit précis. "ax2 vient de la dérivée" n'a pas de sens.
si j'ai un polynome ax^2,
sa Dérivée est 2ax.
sa DÉRIVÉE SECONDE. donc la DÉRIVÉE de la DÉRIVÉE est 2a.
une fonction affine bx+c.
sa dérivée est b. constante.
sa dérivée seconde est ZERO.
Effectivement zenxbear. Je voulais dire le x au carré, il vient d'où ? C'est ce qui fait perdre le fait que cela ne soit plus une droite mais une parabole.
Finalement on peut dire que "y" est la somme du coefficient directeur la pente) de la droite à la courbe à un point donné et de la variation de la tangente en un point donné de la parabole, qui est ax2.
Donc on n'a la somme en gros de deux fois la variation de la droite à la parabole, ce qui nous donne ax2 + bx + c
