ecart type

[kaderben]

Bonjour

Il s'agit du calcul de l'écart type d'une distribution et je voulais m'en assurer du calcul.

En dehors de l'échantillonnage aléatoire, par exemple une distribution de notes scolaires, on calcule la moyenne m et l'écart type comme suit:

VARIANCE(n)=1/n*Somme[ni(Xi-m)]² (on divise par n) et écart type=sqrt(VARIANC(n))

Maintenant pour un échantillon aléatoire:

VARIANCE(n-1)=1/(n-1)*Somme[ni(Xi-m)]² (on divise par n-1) et écart type=sqrt(VARIANC(n-1))

Est ce que c'est la règle tout le temps ou bien cela dépend de la taille de la distribution ?

Merci pour vos commentaires
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Cela dépend de la valeur disponible pour la moyenne.
Si cette valeur est la moyenne vraie, par exemple le résultat d'un tirage avec un dé : on connait exactement la moyenne, alors le dénominateur est N.
Si cette valeur est la moyenne arithmétique des valeurs observée, c'est le cas très général, alors le dénominateur est N-1.
Pour vous en convaincre, faites un calcul avec 2 valeurs.

[invite51d17075]

ce n'est pas la raison.
la différence est que la première formule ( en 1/n ) correspond à une approche probabiliste.
alors que la seconde à des statistiques.
dans le second cas, on cherche à tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon.
Or, il s'avère que dans ce cas, prendre 1/n induit un biais dans la mesure.
Bessel s'est penché la dessus et "corrige" la mesure de la variance par n/(n-1):
https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction

[kaderben]

Bonjour

Pour vous en convaincre, faites un calcul avec 2 valeurs.

exemple avec deux valeurs:7 et 12

moyenne=(7+12)/2=9,5

écart type non corrigé=sqrt([(7-9,5)²+(12-9,5)²]/2)=2,5

écart type corrigé=sqrt([(7-9,5)²+(12-9,5)²]/1)=3,5355

Oui il y a une différence mais que faut il voir dans cette différence ?

D'après le lien (page web) lorsque c'est un échantillon aléatoire alors il faut diviser par n-1 si j'ai bien compris!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bon, là avec 2 valeurs, vous obtenez quelque chose.
Maintenant avec une seule valeur, par exemple 9.5.
La moyenne est donc 9.5.
si vous divisez par N=1, vous obtenez un écart-type = 0. Vraiment bien, alors pourquoi pas se contenter d'une seule valeur ?
En fait, comme la valeur vraie de la moyenne n'est pas connue, l'écart-type est indéterminé. 0/0 est indéterminé.
Ceci n'est pas une démonstration, seulement un moyen de le comprendre.
Bonne continuation.

[invite51d17075]

c'est le fait que cela soit un échantillon que l'on analyse statistiquement.
et il est nécessaire qu'il soit aléatoire sinon l'analyse est biaisée.
( dans le cadre d'un sondage, on dirait "représentatif" )

c'est plus visible avec 3 valeurs: 7;9,5;12
le terme du milieu correspond ici à la moyenne.
avec un calcul non corrigé e=2,04
avec un calcul corrigé e=2,5 , soit juste l'écart des deux valeurs en dehors de la moyenne.
de fait , une autre manière de le dire c'est qu'indirectement on a une valeur de trop ( redondante ) , qu'on illustre ici en prenant la valeur moyenne justement.

ps: dans mon message précédent, l'intro " ce n'est pas la raison", s'adressait à toi et non à Dlzlogic, qui avait posté pendant l'écriture de mon post.

[gg0]

Une autre façon de voir :

J'ai n valeurs (soit dans un échantillon, soit la population qui m'intéresse est constituée de n individus), et je veux en calculer la variance, alors je fais le calcul avec n. C'est la définition de la variance en statistiques.
Je suis dans une situation où je ne connais pas la moyenne et la variance d'une population, mais j'ai pu tirer un échantillon aléatoire de n individus, ce qui me donne n valeurs. Il est évident que la variance de ces n valeurs (donc calculée en divisant par n, et en utilisant la moyenne des n valeurs) n'est pas la variance de la population sauf chance extraordinaire. On peut juste espérer qu'elle ne soit pas trop loin, et qu'en moyenne, on trouve la bonne valeur. Effectivement, elle n'est pas trop loin, plus exactement elle s'en rapproche en moyenne quand n augmente. malheureusement elle ne donne pas en moyenne la vraie valeur. Heureusement, si au lieu de diviser par n on divise par n-1, on a alors en moyenne la bonne valeur, et si n est très grand, la différence devient très rarement notable.

Donc il ne peut pas y avoir de confusion d'usage, si on sait ce qu'on veut faire : calculer la variance d'une population connue, ou estimer la moyenne et la variance d'une population, valeurs inconnues, à l'aide d'un échantillon aléatoire (si l'échantillon n'est pas tiré au hasard, il n'y a aucune raison pour que ça donne un résultat utile : "100% des gagnants ont tenté leur chance").

Cordialement.