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Ecriture fractionnaire



  1. #1
    heyheyheyh

    Ecriture fractionnaire


    ------

    Bonjour,

    Je lis dans certains manuels scolaires, qu'un nombre décimal est un nombre qu'on peut écrire sous forme de fraction (avec des entiers au numérateur et au dénominateur) avec une puissance de 10 au dénominateur. Je suis d'accord, mais par exemple, si je prends 5/3, je vois bien qu'en multipliant par 10/3 le dénominateur et le numérateur, je me retrouve avec un dénominateur non entier. Idem avec toutes les puissances de 10. Mais je le vois, je ne l'ai pas prouvé...

    Y a t-il plus efficace, en restant collé à cette définition "un nombre est décimal si on peut l'écrire sous forme de fraction d'entiers avec une puissance de 10 au dénominateur" ?

    Merci!

    -----

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  4. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ecriture fractionnaire

    Bonjour.

    Tu ne vois pas que 50/3 n'est pas un entier ? Et tu ne saurais pas le prouver ? Pourtant on a
    .

    Cordialement.

  5. #3
    erik

    Re : Ecriture fractionnaire

    Salut,


    Je ne comprend pas ta question, la définition d'un nombre décimal que tu donnes est claire, ça veut dire quoi plus efficace ?

    Un nombre décimal est un nombre ayant un développement décimal limité, donc de la forme avec a et b entier.

    Par exemple :
    3.15=315/10² est un nombre décimal,
    5/3=1,66666666.... n'est pas un nombre décimal,
    Pi n'est pas un nombre décimal ....

  6. #4
    PlaneteF

    Re : Ecriture fractionnaire

    Bonjour,

    Supposons qu'il existe un entier relatif et un entier naturel tel que

    Dans ce cas on aurait

    Or il est très simple de monter que n'est pas un multiple de .


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 27/08/2016 à 14h08.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    heyheyheyh

    Re : Ecriture fractionnaire

    Merci pour vos réponses. Si gg0, c'est ce que j'ai fait aussi (48/3 et 51/3).

    Erik, le truc, c'est que dire "1,666... n'a pas de développement décimal limité", cela se voit en disant que 1,666...= 1+6/10+6/100+....etc . Je ne trouve pas que ce soit une preuve. Mais je dois me tromper...

  9. #6
    PlaneteF

    Re : Ecriture fractionnaire

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Or il est très simple de monter que n'est pas un multiple de .
    je rajoure ceci : Si tu connais la notion de congruence c'est immédiat.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 27/08/2016 à 14h17.

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  11. #7
    heyheyheyh

    Re : Ecriture fractionnaire

    Tu peux détailler PlaneteF ? Ca m'intéresse.

  12. #8
    PlaneteF

    Re : Ecriture fractionnaire

    Tu connais la notion de congruence ?

  13. #9
    heyheyheyh

    Re : Ecriture fractionnaire

    Des souvenirs qui demandent à être réactivés. C'est pour ça que je demande le détail des étapes (la justification en fait, je te fais confiance sur les propriétés ) .

  14. #10
    PlaneteF

    Re : Ecriture fractionnaire

    Pour te rafraîchir la mémoire, check this out: http://x.maths.free.fr/TS/cours/cour...gcours&page=01

    Ainsi,

    On a :

    On a aussi : donc

    Conclusion :


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 27/08/2016 à 14h29.

  15. #11
    heyheyheyh

    Re : Ecriture fractionnaire

    J'avais un doute sur la conclusion, merci pour ta réactivité

  16. #12
    Tryss2

    Re : Ecriture fractionnaire

    Sinon, autre point de vue : Les seuls facteurs premiers de 5x10^n sont 2 et 5, donc ce nombre ne peut pas être un multiple de 3 (sinon il aurait 3 comme facteur premier)

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  18. #13
    heyheyheyh

    Re : Ecriture fractionnaire

    @ Tryss : il y a une propriété qui dit que quand on décompose un nombre en produit de nombres premiers (et ceci de manière unique), on utilise tous les diviseurs premiers du nombre en question ?

    Je vois bien que c'est évident, mais je ne saurais encore une fois, pas le prouver :/ peut-être par l'absurde ?

  19. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ecriture fractionnaire

    Heyheyhey,

    si la décomposition est unique, comme il y a celle avec des 2 et des 5, il n'y en a pas une autre avec un 3.

    Cordialement.

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