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Primitive de : 1/(1+x^2)^2




  1. #1
    hurluberlu

    Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Bonjour,

    J'aimerais calculer la primitive de mais je ne sais pas comment faire. Je sais que mais c'est tout.
    Si je remplace , je tombe sur mais après je suis bloqué.

    Il n' y a pas un autre moyen ?

    Merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Il y a de nombreuses façons :
    * remplacer le 1 du numérateur par 1+x^2-x^2, puis décomposer pour faire apparaître x^2/(1+x^2)^2, qu'on réécrit pour faire apparaître la dérivée de 1/(1+x^2), et intégration par parties.
    * Poser x=tan(t) et passer ensuite en cosinus.
    * ...

    Cordialement.

  4. #3
    hurluberlu

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Merci, je ne me rappelais plus de cette astuce


  5. #4
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Bonjour, faut-il utiliser la même technique pour primitiver (1-x^2)/(1+x^2)^2 ?? Si oui pouvez vous approffondir, car sur internet je ne trouve que des solutions de u'/un qui expliquent que la primitive de u'.un = un+1 / (n+1)

    Ce qui ne fonctionne pas pour moi, car la fonction n'est pas de cette forme. J'ai essayé l'integration par parties, mais ça devient encore plus complexe.
    Comment on peut faire ?

  6. #5
    gg0

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Bonjour.

    Oui, la méthode algébrique fonctionne :

    Le premier terme s’intègre facilement, le deuxième par parties.

    Bon travail !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Très bien, donc la primitive de 1/(1+x^2) c'est arctan(x), mais pour intégrer par partie x(-2x)/(1+x^2)^2 je bloque, explication de ce que je fais :

    u' = -2x/(1+x^2)^2 u = -ln((1+x^2)^2)/2 (Si je ne me trompe pas..)
    v = x
    v' = 1

    Donc primitive de u'v = uv - primitive de uv' = -x.ln((1+x^2)^2/2 + 1/2.primitive de ln((1+x^2)^2)

    On sait que la primitive de ln(u) = u.ln(u)-u donc la primitive de ln((1+x^2)^2) = (1+x^2)^2.ln((1+x^2)^2) - (1+x^2)^2

    La primitive de u'v = [ -x.ln((1+x^2)^2 + (1+x^2)^2.ln((1+x^2)^2) - (1+x^2)^2 ]/2

    En gros ma primitive finale c'est : arctan(x) + [ -x.ln((1+x^2)^2 + (1+x^2)^2.ln((1+x^2)^2) - (1+x^2)^2 ]/2 + C

    Mais ya pas moyen de simplifier ce bordel ? Sur le site ou je fais l'exo, ils mettent direct comme primitive sans explications : x/(1+x^2) + C
    Je suis un peu perdu la, j'ai surement fais une erreur encore non ?

  9. #7
    Kairn

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Salut !

    Tu fais une erreur en intégrant u' : il n'y a pas de logarithme ici. Pour t'aider, quelle est la dérivée de la fonction inverse ? Et de la fonction 1/f avec f une fonction ?

    Autre erreur que tu fais plus loin : la primitive de ln(u) n'est pas u.ln(u)-u si u est une fonction, sauf cas particulier (u=identité...) : dérive ceci pour t'en rendre compte .

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  11. #8
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Tu m'as totalement perdu haha, moi pour trouver la primitive de -2x/(1+x^2)^2 bah déjà j'ai dérivé le numérateur donc 4x non ?? Ce qui fait pour la forme u'/u = ln(u)
    Ainsi pour contrer ce 4x en -2x au numérateur, on multiplie le tout par -1/2, voilà comment j'ai trouvé -(1/2)ln((1+x^2)^2).

    Et plus loin, pour u.ln(u)-u bah je sais pas, si u n'est pas une fonction alors c'est quoi ? une constante seulement ?

  12. #9
    ansset

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    non, tu n'as pas du u'/u mais du -u'/u².
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Ah oui c'est vrai ! Je suis à l'ouest vraiment ! Et comme (u'/u)' = -u'/u^2 j'en conclu que je dois trouver la forme u'/u, donc 2x/(1-x^2). Ca correspond déjà beaucoup mieux à ce que dit le site de l'éxo c'est sûr ! Sauf que le site met x/(1-x^2) comme primitive, pourquoi je me retrouve avec un 2 ?

  14. #11
    gg0

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Le 2 est dans u' !!!

    Et si tu faisais sérieusement les calculs, c'est à dire en appliquant strictement les formules ?
    Car "calculer" en écrivant faux à chaque fois n'est pas une activité intelligente.

    Cordialement.

  15. #12
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    C'est une insulte ? Je fais réellement de mon mieux ! Quand je vous explique tout ce que j'ai fait, c'est justement pour progresser il me semble. Moi qui n'avait pas suivi une voie très mathématique au lycée, il y a des formules que vous me sortez que je n'avais pas connus.

    Et la je comprend pas trop ce que tu racontes avec 2 est dans u' ? En effet puisque -u' corrrespond à -2x, donc u' = 2x, c'est ça que je cherche normalement pour obtenir la forme u'/u. Donc je sais pas si c'est ça, étant donné que je ne trouve pas pareil que la correction.

  16. #13
    gg0

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Non !

    Ce n'est en rien une insulte, seulement une constatation : Tu te trompes à chaque fois, ce qui n'a rien d'obligatoire.

    Ici, il te suffirait de regarder quelle est vraiment la dérivée de U=x²+1 pour voir que c'est justement 2x. Puis faire le calcul tranquillement. Et ne pas t'occuper du corrigé qui présente peut-être les calculs autrement que tu les fais : C'est nettement plus simple de faire les calculs (on sait quelle règle on applique) plutôt que d'essayer de deviner quel idée à eu celui qui a écrit le corrigé ...
    " il y a des formules que vous me sortez que je n'avais pas connues." : Tu ne peux pas espérer calculer des primitives si tu n'apprends pas complétement à dériver. C'est la base. Peut être ferais-tu bien de revoir les calculs de dérivées.

    Bon travail !

  17. #14
    ansset

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Citation Envoyé par MyL38 Voir le message
    Et la je comprend pas trop ce que tu racontes avec 2 est dans u' ? En effet puisque -u' corrrespond à -2x, donc u' = 2x, c'est ça que je cherche normalement pour obtenir la forme u'/u. Donc je sais pas si c'est ça, étant donné que je ne trouve pas pareil que la correction.
    tu fais effectivement de drôles de calculs :
    comme si tu ne savais plus ce que tu appelais u.
    et en s'obstinant à vouloir voir un u'/u malgré les remarques de tous.

    il reste que :
    si



    en espérant vivement que tu n'ai pas de problème avec cette dérivée.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Bon, pour les ln, j'avoue je suis parti dans un délire... Je vous éxplique ma connerie, en dérivant le dénominateur (1+x^2)^2, j'ai pris que 4x, au lieu de 4x(1+x^2), voila pourquoi j'ai mis des ln.
    Ensuite, on me dit de faire les exos moi même, pour ainsi comprendre le fonctionnement.. Bah c'est ce que je fais, mais quand je termine l'éxo, il faut bien aller voir le résultat qu'on doit trouver dans le corrigé au moins non ? Voilà pourquoi je compare mon résultat à celui du corrigé, pour pas apprendre mes erreurs !
    J'ai fait des dizaines d'équadiff pendant cet été, j'en réussis les 3/4. C'est les primitives de fraction qui me bloquent, j'ai trés peu de difficultés avec les dérivés. J'ai dis aussi une connerie avec (u'/u)' = -u'/u^2 en pensant à (1/x)' = -1/x^2 j'en ai fait une généralité !
    Vous jouez avec les mots de manière que je le devine, mais dites le moi clairement si je dis une couille !

    Bon revenons à mon problème, ansset, oui je sais deriver, et d'accord tu m'as donné la primitive de -2x/(1+x^2)^2... (Désolé je ne sais pas écrire avec la syntaxe que vous utilisez) Mais, en bref, comment on fait ?

  19. #16
    gg0

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Bonjour.

    Tu reprends au message #5, et maintenant tu as tout ce qu'il te faut pour faire le calcul toi-même.

    Cordialement.

    NB : Si tu ne rédiges pas tes calculs, on ne peut pas t'aider à progresser. les allusions que tu feras à ce que tu as écrit ailleurs sont surtout des sources de confusion.

  20. #17
    MyL38

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Trés bien, je reprend à 0 :
    Primitive de 1/(1+x^2) = arctan(x)
    Ensuite primitive de x.-2x/(1+x^2)^2 :
    u' = -2x/(1+x^2)^2 → u = 1/(1+x^2)
    v = x → v' = 1

    Primitive de u'v = x/(1+x^2)^2 - Primitive de 1/(1+x^2)
    = x/(1+x^2)^2 - arctan(x)

    On additionne les deux primitives, les arctan(x) s'annulent et il reste x/(1+x^2)^2

    Voila ce que je trouve, dites moi si je me trompe quelque part.
    Mais voilà, si ansset ne m'aurait pas donné la primitive de -2x/(1+x^2)^2, eh bien j'aurai pas trouvé ! Je ne sais pas primitiver les fractions ! Mis à part primitiver 1/(1+x^2)^2, ce qui donne arctan(x), Eh bien je ne sais pas comment on procède !

  21. #18
    gg0

    Re : Primitive de : 1/(1+x^2)^2

    Mon robot calculateur ne trouve pas comme toi. Tu as mal appliqué l'intégration par parties (uv), ce qui fait qu'il y a un "^2" parasite. Ne pas oublier aussi que c'est seulement une parmi l'infinité des primitives, qui s'écrivent de façon générale x/(1+x²)+C où C est une constante réelle.

    Pour trouver les primitives, on a des formules de "primitives élémentaires", qui sont des formules de dérivées reconditionnées. Par exemple, comme U^n a comme dérivée nU' U^(n-1), on voit que U'U^(n-1) a comme primitive U^n/n (si n est non nul). En remplaçant n par n+1, on a une formule plus pratique : une primitive de U'U^n est U^(n+1)/(n+1), pour n différent de -1.
    De ce fait, U'/U^n a une primitive élémentaire, puisque c'est U'U^(-n). C'est ce que sait Ansset, et ce qu'il faut que tu apprennes .... ou que tu retrouves en exploitant à fond toutes les formules de dérivation (connaître une primitive, c'est connaître une dérivée).

    Cordialement.

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