théoreme de bézout

[hmz25]

bonjour a vous, je suis en moment en train de comprendre la demonstration de théoreme de bézout, il existe deux entier relative u et v tel que au +bv =1,
on considere E l'ensemble des élement au+bv = d et on suit la démonstration j'usqu'a on démontre que r tel que a = dq + r, et on démontre que r est un élément de l'ensemble E et c'est la mon problème pour quoi on démontre que r est un élément de E biensure je sai que r = a-dq et a et dq sont des éléments de E donc r doit forcément ètre un élément de E mais pour quoi cette démonstration, je suis arriver a démontrer que si r n'est pas un élément de E donc il n'ya pas deux entier relative tel que que au +bv =r ce qui conduit à que il n'ya deux entier relative u et v tel que au+bv = m et il suffit de prendre a = 8 et b=6 et m = 5 et r =3 en fait il n'ya deux entier tel que 8u+6v = 3 donc on déduit qu'il n'ya pas deux entier relative tel que 8u+6v = 5.ce qui est absurde donc je déduit que démontrer que r est un élément de E
est nécessaire.voila tous espérant votre aide . et merci.
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[gg0]

Bonjour.

Si tu veux démontrer l'identité de Bézout, il te faut savoir ce qu'elle dit. Puis dans la démonstration, suivre ce qui est dit, sans aller chercher des choses qui contredisent la situation comme "si r n'est pas un élément de E".
Maintenant, "pourquoi on démontre que r est un élément de E" ? Ben ... vois la suite de la démonstration (moi je ne l'ai pas), ça va servir.

Si tu veux une aide précise, sur une démonstration précise, il faut que tu nous écrives cette démonstration, car il existe souvent plusieurs démonstrations possibles (ici, il y a même plusieurs relations de Bézout possibles suivant que tu veux au +bv =1 ou au+bv = d, suivant que a et b sont premiers entre eux ou pas). Mais comme on ne sait pas quelle est le texte de démonstration dont tu parles, et que tu embrouilles tout ensuite, difficile de savoir même où est ta difficulté.

Cordialement.

[hmz25]

la démonstration c'est : on consider que au + bv = m soit E l'esemble des élement E n'est pas vide il suffit de prendre v =0 et u=1 ce qui donne a ou -a si on pose u = -1 ou a+2b
a-2b donc l'ensemble E n'est pas vide et admet un petit élément m , soit a diviser par m on a = mq +r ,donc r= a-mq , r= a-(au+bv)q , r= a(1-qu)+b(-qv) donc r est un élément de E on prenant (u = 1-qu et v = -qv) et comme 0=<r<m et comme m est le plus petit élément donc r=0........, bref ma question est est'ce nécéssaire de démontrer que r est un élément de E......., et merci pour votre aide.

[gg0]

Je ne sais pas quelles sont les hypothèses. Mais déjà, à ta question, la réponse est évidente : On utilise le fait que r est positif et est dans E pour prouver qu'il vaut 0. Donc on a bien besoin de prouver que r est une des éléments de E.

par contre, ce que tu écris est incompréhensible : Il manque l'énoncé précis du théorème, qui dit ce que sont a et b, et présente les notations u et v. E n'est pas clairement défini (dans ce que tu écris, en particulier à cause du "on considère que au + bv = m" : C'est qui, m ???
Reprenons un début de preuve, bien écrit. On suppose que a et b sont deux entiers relatifs non nuls :
"Soit E l'ensemble des au+bv pour u et v entiers relatifs. E est non vide, et contient des éléments positifs (en prenant u=1 ou -1 et v=0, on voit qu'il contient a et -a, l'un des deux est positif); soit m le plus petit élément strictement positif de E. Par division euclidienne, il existe deux entiers q et r tels que a=mq+r et 0<=r<m."
la suite, tu l'as, si tu as du mal, on verra à t'aider. Mais dans ce que j'ai écrit, m est parfaitement défini (même si on ne sait pas encore ce qu'il vaut) et il n'apparaît pas deux fois comme dans ton message. q et r aussi sont parfaitement définis.

Je te laisse étudier la suite de la preuve. Si tu reviens, donne l'énoncé du théorème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hmz25]

l'énoncé du théorème est bien celui posé dans ton message E l'ensemble des au+bv pour u et v entiers relatifs. E est non vide. pour la suite de démonstration je comprend que m est le plus petit élément dans E et on veut prouver que r = 0 et on a 0<=r<m donc on doit prouver que r est un élément de E pour prouver qu'il vaut 0.c'est c'est bien cela corriger moi si je me trompe.

[hmz25]

voila mon raisonnement : la question qu'on doit poser est ce que r peut etre égale à 0 (r=0) et on remarque que r = a-mq donc r doit forcement etre dans l'ensemble E et on remarquant que l'ensemble E comporte 0 puisque E inter Z alor il existe deux entier relatifs tel que au(0)+bv(0) = r (posant u = 1-qu(0) et v = -qv(0)) et comme m est le plus petit élément de E mais attention m est non nul et comme 0<=r<m donc r=0......bref pour d'autre entier relative a et b ca peut que cela n'est pas vrai c'est a dire il n'existe pas deux entier relative tel que au+bv = r donc il n'existe pas au+bv=d tel que (a=dq+r).j'éspère votre aide et merci.

[gg0]

l'énoncé du théorème est bien celui posé dans ton message

Dans mon message, il n'y a pas l'énoncé du théorème. Tu ne sembles pas vraiment comprendre ce qu'est une théorème, ni ce qu'est le théorème de Bézout dont tu parles.

voila mon raisonnement : la question qu'on doit poser est ce que r peut etre égale à 0

Non, pas du tout. On ne se pose pas de question, on raisonne sur la situation qui correspond à l'énoncé du théorème. Tant que tu ne l'auras pas écrit, inutile de raconter quoi que ce soit, c'est parler dans le vide.
La suite de ton message #6 est assez peu compréhensible, tu sembles mélanger tout. Donc au lieu de baratiner en prenant des bouts de phrases posés les uns à côté des autres, reviens au début et cherche à comprendre de quoi il est question. On ne peut pas t'aider si tu n'es pas raisonnable.

[hmz25]

d'accord je te donne l'enoncer de theorem : on veut prouver qu'il existe des entier relatifs u et v tel quel au +bv=1 et a et b sont des entier relatifs . on pose que a et b sont premier entre eux donc pgcd (a,b) = 1.soit E l'ensemble des au+bv E est non vide car a et -a font partie de l'ensemble E (posant u=1ou-1 et v=0).
soit m le plus petit element de E donc il existe des entiers relatifs tel que au(0)+bv(0)=m.soit la division de a par m donc a=mq+r (q et r sont des entier) donc r=a-mq=
a-(au(0)+bv(0))q= a(1-qu)+b(-qv) donc r appartien à E et comme 0<=r<m donc r=0 ,de la meme on démontre b et comme a et b sont premeir entre eux m=1.
voila l'ennoncer et la demonstration et ma question est toujour la meme ( est'ce nécéssaire de démontrer que r est un élément de E) bref j'esper votre aide et désoler et merci.

[gg0]

Non !

Ce n'est pas l'énoncé du théorème de Bézout !!
Ou il n'est pas écrit correctement (hypothèses).

Donc inutile d'essayer de t'expliquer, puisque tu ne sais même pas de quoi il est question.

Quant à ta question que tu réécris sans fin, j'ai déjà répondu, mais comme tu mélanges tout, tu ne risques pas de comprendre.

Commence par écrire correctement le théorème de Bézout.

[hmz25]

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = 1.voila l'énoncer générale de bézout , je ne voie pas d'autre énoncer c'est le seul a part tu veux dire autrement ( il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = pgcd(a, b))

[hmz25]

cya quelqun

[gg0]

Ok !

C'est donc cette forme que tu veux démontrer (dans les premiers messages, ce n'était pas évident, il y a plusieurs formes possibles). C'est une équivalence :
soient deux entiers relatifs a et b :
"a et b sont premiers entre eux" équivaut à " il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = 1"
mais comme ta "démonstration" ne procède pas par équivalence, on peut supposer que tu démontres le sens
"a et b sont premiers entre eux" implique " il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = 1"
et que tu démontreras ensuite la réciproque :
" il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = 1" implique "a et b sont premiers entre eux".
Donc tu as comme hypothèse "a et b sont premiers entre eux".
Ensuite, la démonstration se déroule comme je l'écrivais au message #4 :
""Soit E l'ensemble des au+bv pour u et v entiers relatifs. E est non vide, et contient des éléments positifs (en prenant u=1 ou -1 et v=0, on voit qu'il contient a et -a, l'un des deux est positif); soit m le plus petit élément strictement positif de E. Par division euclidienne, il existe deux entiers q et r tels que a=mq+r et 0<=r<m."
Puis l'argument de calcul que tu citais :" r= a-mq , r= a-(au+bv)q , r= a(1-qu)+b(-qv) donc r est un élément de E " permet de voir que r est un élément positif de E qui est strictement inférieur au plus petit élément strictement positif de E, donc r n'est pas strictement positif, donc il est nul.
On a bien eu besoin du fait que r est dans E, si tu veux t'en passer, à toi de rédiger une preuve sérieuse.
Ensuite, ça roule : On conclut que m divise a; de la même façon, on trouve que m divise b, donc m=1, et comme m est dans E, il s'écrit m=au+bv=1 pour un couple u, v d'entiers au moins.

A toi !

[hmz25]

d'accord je comprend mieu maintenant merci a toi gg0.(et non je n'ai pas une autre preuve en tous cas pas pour l'instant.).

[gg0]

Alors tu as peut-être une preuve très incomplète. Comme tu ne la communiques pas, je suis très dubitatif.