Bonjour , quelqu'un pourrait-il me donner des pistes pour trouver la solution à mon exo ...?
Consignes
En utilisant le raisonnement par l'absurde
Montrer que 2014 ne peut pas s'écrire sur la forme de 2 carrés
2 carrés = x^2 +y^2par exemple
Merci
Effectivement, c'est spécial ! Sauf si ça fait suite à un travail sur les sommes de 2 carrés. car on n'a pas besoin de raisonnement par l'absurde, il suffit de regarder tous les cas possibles, car x² est inférieur à 2014, donc ne peut prendre que 45 valeurs.
Est-ce vraiment un exercice isolé ?
Oui , cet exo fait partie d'une suites d'exos sur le raisonnement par l'absurde
Mais pour votre raisonnement, est ce que c'est juste de faire du cas par cas ?
Enfin d'habitude en exos , on nous demande surtout d'étudier un cas général...
Juste dans le sens , est ce que cela sera considéré comme un raisonnement rigoureux et donc accepté
Je ne sais pas la définition de rigoureux en math , mais on nous le reproche souvent à tel point qu'on en devirnt très méfiant...
Bonjour,
Fermat a démontré que pour qu'on puisse écrire un entier comme somme de deux carrés, il ne faut pas que dans sa décomposition en nombres premiers, les nombres de la forme 4n+3 aient un exposant impair
Si on décompose 2014 on trouve 2*19*53. Or 19 est un nombre de la forme 4n+3 avec un exposant 1 donc impossible.
(Par contre 2*53*17=1802 marche, et 53*19*19 aussi)
Mais la démonstration est quand même assez compliquée et je ne vois pas bien comment on est censé démontrer cela à votre niveau
(terminale si j'ai bien compris)
Une piste possible "par l'absurde" serait de démontrer d'abord que si on trouvait une somme pour 2014, on trouverait aussi une somme pour tous les nombres premiers qu'il contient (grâce à l''identité de diophante : (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)².
Or, pour 19, on peut démontrer assez facilement que c'est impossible car il vaut 3 modulo 4 ,et que un carré vaut toujours 0 ou 1, et donc les sommes de deux carrés ne peuvent valoir que 0, 1 ou 2
Dernière modification par Resartus ; 14/09/2016 à 15h59.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Merci pour vos réponses !
edit : erreur
je reprend, j'avais effacé mais en fait c'était juste ( je crois )
2014=2*19*53
a²+b²=(a+b)²-2ab d'où
2(1007+ab)=(a+b)²
2 divise (a+b)² donc divise aussi (a+b) et (a+b)² est multiple de 4
d'où ab est impair, donc les deux sont impairs.
a=2k+1
b=2k'+1
l'équation initiale devient
2(1007)=4(k²+k'²)+4(k+k')+2 soit
1006=2(k(k+1)+k'(k'+1))
503=k(k+1)+k'(k'+1)
chaque terme k(k+1) est impair ( pair*impair) donc la somme est pair, mais pas 503
j'oublie le cas ou a ou b est nul car 2014 n'est pas un carré.
