Voici le corrigé de la démonstration par récurrence à faire :
2^n>n² pour n>4
2^n+1=2¹×2^n >2n²
Or (n+1)²= n²+2n+1
Il suffit donc de prouver que n²>2n+1 pour n>4
Je ne comprends pas tout le raisonnement, comment en est on arrivé à la dernière ligne ?
nous sommes en terminal tout les 2 donc ma réponse ne sera pas forcément la bonne
d'abord , on suppose 2^n>n^2
on doit montrer que : 2^n+1 > (n+1)^2
on revient à notre supposition 2^n>n^2 ... on multiplie le tout par 2 pour retomber sur le 2^n+1
Tout multiplier par 2 implique : 2^n+1> 2*n^2
Or la consigne nous demande de prouver que 2^n+1 > (n+1)^2
D'après ce que nous venons de trouver ... il suffit (Si possible) de montrer que finalement :
2^n+1> 2*n^2> (n+1)^2 ou tout simplement que 2*n^2> (n+1)^2
en developpant (n+1)^2 , nous avons n²+2n+1
nous soustrayons les 2 parties par n²
Et il nous reste : n² + n² - n² > n² - n²+2n+1 ce qui revient a dire : n²>2n+1
Bonjour harry1999.
"comment en est on arrivé à la dernière ligne ? " En comparant ce qu'on a avec ce qu'on veut.
Un truc ultra-classique sur les inégalités : a>b est équivalent à a-b>0
Tu peux donc essayer de prouver que 2^n-n²>0 pour n>4
Une fois vérifié pour n=4 (premier entier >4), tu supposes que 2^n-n²>0 pour un n au moins égal à 5, et tu veux démontrer que ça marche pour n+1, que 2^(n+1)-(n+1)²>0; en décomposant la puissance de 2 et développant le carré, tu vas pouvoir transformer 2^(n+1)-(n+1)², puis avec l'hypothèse (en gras au dessus) voir que tu te ramène à prouver ce qui est dit.
Cordialement.
