La fonction f est-elle dérivable en ...?

invite10ee5151 · 01/10/2016, 15h21

Hello.
Je suis en Terminale S et j'ai un grand DM à rendre dans 2 jours.
Je bloque sur un tout petit exercice (parmi plusieurs). J'ai besoin d'un tout petit coup d'main.
(Excusez-moi si cet exercice parait trop facile pour un elève de Term.. mais bon!)

L'exo:

Soit la fct f définie sur [0;10] par f(x)= -2x² + 8x si 0<=x<=2 (<=: plus petit ou égal)
f(x)= 8 si 2<x<6
f(x)= 10+(10/(x-11)) si 6<=x<=10

1. a) La fonction est-elle dérivable en 2 et 6?
b) Est-elle dérivable sur l'intervalle [0;10]?
[...]

1. a) Faut-il résoudre avec f'(x)= f(x)-f(a)/x-a ? Si oui, comment? (je bloque) ou faut-il utiliser le tableau de dérivées connus?
Sinon, quelle méthode ou quelle piste emprunter?
b) Quel démarche faut-il prendre?

Merci.

**PlaneteF** · 01/10/2016, 15h48

Bonjour,

Dérivabilité à droite et/ou à gauche, ça te parle ou pas ?

Cordialement

invite10ee5151 · 01/10/2016, 15h55

(Personnellement ça ne me parle pas. Nous l'avons pas étudier encore.)
MAIS en cherchant des pistes sur Internet, je suis tombé sur un "cours" qui expliquent la continuité et la dérivabilité à gauche et à droite. Ok pour la continuité, mais je bloque sur le principe de dérivabilité.

Help?

Merci!

**zenxbear** · 01/10/2016, 16h00

toujours commencer par un dessin. pour savoir déjà la réponse à la question "derivable en 2, ou en 6". Aprés tous la dérivée est la pente de LA tangente.

utiliser la définition de la dérivée en a est une démarche possible.
A noter que la fonction est dite dérivable en a si la limite $\text{[math]}$ ,
existe pour x convergeant vers a des deux cotés.

Ici, chaque coté de 2 par exemple, f(x) à une définition différente. donc tu vas te retrouver à vérifier séparément l'existence de :
$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

Quelle est à ton avis la condition à vérifier, pour que l’existence de ces deux limites implique l'existence de $\text{[math]}$
Et c'est pour cela que le dessin te donne la réponse.

Méthode 2: stipule de connaitre le Théorème d'accroissement finis. Mais en regardant, je ne le vois pas dans le programme de Lycée. donc.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**PlaneteF** · 01/10/2016, 16h00

Envoyé par TheSherifff

MAIS en cherchant des pistes sur Internet, je suis tombé sur un "cours" qui expliquent la continuité et la dérivabilité à gauche et à droite.

C'est très bien de chercher des pistes sur Internet mais je suppose que dans le cadre de ton DM tu dois utiliser exclusivement ce que tu as vu en cours, non ? ... Comment ton/ta prof t'a t-il/elle défini la dérivabilité ?

Cdt

**PlaneteF** · 01/10/2016, 16h07

Envoyé par zenxbear

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Avec parenthèses ou crochets autour de $\text{[math]}$

Cordialement

**zenxbear** · 01/10/2016, 16h20

aussi note que l'on peut raccourcir la méthode 1:

si f(x)=g(x) sur [0,a]

mais g(x) peut être défini au delà de [0,a], et est dérivable partout, y compris en a.

et tu veux calculer $\text{[math]}$

tu sais que
1/ $\text{[math]}$ pour x sur [0,a[
2/ tu sais g est définie au delà de a, et est dérivable en a, $\text{[math]}$ existe aussi et vaut ...[??]

que conclus tu sur?
$\text{[math]}$

invite51d17075 · 01/10/2016, 16h37

bof, la fonction est défini comme succession de fonctions dérivables sur leurs intervalles.
( à montrer mais c'est facile )
il suffit donc de comparer les dérivées à gauche et à droite des points concernés, il me semble.
nul besoin de recourir à la définition de base.

invite10ee5151 · 01/10/2016, 17h26

Peut-on utiliser les formules de dérivées au lieu du taux d'accroissement? ou pas?

**PlaneteF** · 01/10/2016, 17h31

Envoyé par TheSherifff

Peut-on utiliser les formules de dérivées au lieu du taux d'accroissement? ou pas?

Oui bien sûr, tu peux utiliser les formules sur les dérivées.

Cdt

invite10ee5151 · 01/10/2016, 17h47

f(x) = 8 si 2<x<6
et f(x) = 10 + (10/(x-11)) si 6<=x<=10

J'ai dérivé la deuxième fonction: f'(x) = (-10)/(x-11)²
et f'(6) = (-10)/(6-11)² n'est pas dérivable?

Et pour la première fonction [f(x) = 8], f'(x)=0
Comment montrer que f'(6) n'est pas dérivable pour la première fonction?

**PlaneteF** · 01/10/2016, 17h51

Il faut vérifier si $\text{[math]}$ , idem pour $\text{[math]}$

Cdt

invite10ee5151 · 01/10/2016, 18h09

Récapitulons:
Pour 2:
A gauche:
f(x) = -2x² + 8x
f'(x) = -4x+8.
f'(2) = -4(2)+8.
f'(2) = 0

A droite:
f(x) = 8
f'(x) = 0
f'(2) = 0

Donc la fonction f est dérivable en 2.

Pour 6:
A gauche:
f(x) = 8
f'(x) = 0
f'(6) = 0

A droite:
f(x) = 10+((10)/(x-11))
f'(x) = (-10)/(x-11)²
f'(6) = (-10)/(6-11)²
f'(6) = (-10)/(25) = -0.4..

La fonction f n'est pas dérivable en 6.

invite10ee5151 · 01/10/2016, 19h06

Help! Quelqu'un pour m'affirmer les réponses ci-dessus?

**zenxbear** · 01/10/2016, 19h12

comme f n'est pas dérivable en 6, f' n'existe pas.
pareil, quand tu écris f'(2) tu es obligé de rajouter un indice pour gauche. et droite comme te la fait planeteF. le fait que tu titre "à gauche" par dessus n'as pas de valeur.

> Citation Envoyé par TheSherifff Voir le message
> Peut-on utiliser les formules de dérivées au lieu du taux d'accroissement? ou pas?

c'est ok, car des fonctions sont définies au délà de 2 et 6. la logique étant expliqué dans mon poste sur f et g et donne $\text{[math]}$ idem pour f'_d avec la fonction g celle qui est à droite.

invite10ee5151 · 01/10/2016, 21h01

Excuse-moi.

Je ne comprends pas entièrement ta dernière réponse.
Quelle est donc la meilleure notation pour ""comme f n'est pas dérivable en 6, f' n'existe pas"".

Récapitulons encore (pour la notation)
Pour 2:
f_g(x) = -2x² + 8x
f'_g(x) = -4x+8.
f'_g(2) = -4(2)+8.
f'_g(2) = 0

f_d(x) = 8
f'_d(x) = 0
f'_d(2) = 0

f'_g(2)=f'_d(2)

Donc la fonction f est dérivable en 2.

Nous n'avons pas étudier la bonne notation encore.
Pouvez vous me guider vers une bonne notation de cet exercice?

**zenxbear** · 01/10/2016, 21h23

là c'est ok.
la notation, avec indice _d ou _g, rappelle que tu es en train de calculer la limite à gauche de l’accroissement, et la limite à droite de l'accroissement.
Si ces limites sont les mêmes, la dérivé existe. A ce moment tu peux écrire f'(2)=0

c'est juste soin dans ce que tu écris.

invite10ee5151 · 01/10/2016, 21h25

Quelle est donc la rédaction pour le 6 (comme pour le 2), si f' n'existe pas?

Merci

**zenxbear** · 01/10/2016, 21h35

pour 2 à la fin tu conclus f'(2)=f'_d(2)=f'_g(2).

Pour 6, tu écris la même chose, et tu calcules $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Tu as donc calculé une limite à gauche et à droite de l'accroissement.
Mais elles ne sont pas égales.
donc à la fin, il n'y a pas de f'(6).

invite10ee5151 · 01/10/2016, 21h42

Merci infiniment.

invite10ee5151 · 01/10/2016, 22h49

Je veux étudier les variations de f.

J'étudie la dérivée, le signe, la croissance de chaque "morceau" de cette fonction, puis je les regroupe dans un tableau de variation final.

Pour le tableau de variations final,
Je n'arrive pas à le compléter?
Quel est le signe du premier "morceau" sur les intervalles des deux autres "morceaux" ?2<x<6 et 6<x<10?
Quel est le signe du troisième "morceau" sur 0<x<2 et 2<x<6?

Merci

**zenxbear** · 01/10/2016, 23h13

sur [2,6]. tu sais que ta fonction est constante. la dérivée est nulle! donc ta question est bizarre.

sur l'intervalle [6,10]. tu as une fonction continue. et tu as une dérivée sur ]6,10[
tu étudies le signe de cette dérivée et tu traces le tableau de variation, comme tu as toujours fait.

invite10ee5151 · 01/10/2016, 23h16

Effectivement, elle est constante sur [2;6]. Je l'avais marqué en plus. Faute d'inattention.
et merci

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