besoin d'aide pour un Dm de mathématiques de Terminale S
Pour remplacer la bibliothèque municipale devenue trop petite, une commune
décide d'ouvrir une médiatheque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total La
médiathèque ouvre le 1er janvier 2013 et avec le stock de 35 000 ouvrages de
l’ancienne bibliotheque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts
par la commune.
PARTIE A
Chaque année, le bibliothécaire est chargé de supprimer 5 % des ouvrages, trop
vieux ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs. On appelle un
le nombre, en
milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 + n).
On donne u0 = 42.
1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un+1=un×0,95+6 .
2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
Variables : U, N
Initialisation : Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement : Tant que U < 100
U prend la valeur U ×0,95+6
N prend la valeur N +1
Fin du Tant que
Sortie : Afficher N.
3. À l’aide de votre calculatrice, déterminer le résultat qu'on obtiendrait si on
lançait cet algorithme.
PARTIE B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer
que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus. On appelle vn
le
nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 + n).
1. Identifier et écrire la ligne qu’il faut modifier dans l’algorithme pour
prendre en compte ce changement.
2. On admet que vn+1=vn×0,95+4 avec v0 = 42.
On considere la suite (wn
) définie, pour tout entier n, par wn=vn−80 .
Montrer que (wn
) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser
son premier terme w0
3. Exprimer wn en fonction de n puis en déduire vn en fonction de n.
4. Pour n entier naturel, calculer : Sn=v0+v1+...+v n
. Ce résultat a-t-il un
sens pour la situation étudiée ? Si oui lequel ? Sinon pourquoi ?
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