Equation impossible ?

[invitef34f4826]

Bonjour,

Je suis en première S, et mon professeur de SVT (oui de SVT) nous a donné à moi et un ami une énigme, apparemment classique : on a un champ circulaire (de rayon 1), on accroche une chèvre à une corde fixé sur le bord du champ, quel doit-être la longueur de la corde pour que la chèvre n'est accès qu'à 50% de l'herbe. Donc j'ai avancé "tranquillement" sur ce problème beaucoup plus complexe que prévu. Pour finalement arriver à une équation juste (en tout cas si j'écoute geogebra et ma casio, donc x vaut environ 1.159), mais ... pas simple ;-; ... en tout cas j'ai pas trouvé le truc...

Alors j'imagine qu'il y a une solution plus simple, arrivant à une équation plus simple mais tant pis.

Donc bah ma question : comment résoudre ce monstre, est-ce possible "à la main" (pour avoir une valeur exacte), est-ce possible tout court ? Si oui j'aimerais des pistes, pas de solution toute faites, mais de quoi comprendre, et résoudre par moi-même.

Et voici l'équation, "simplifié" par mes soins...


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[Seirios]

Bonsoir,

Ceci pourrait t'intéresser : Le problème de l'hyperchèvre.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Notre ami est en première S. Il me parait plus facile de lui expliquer que certains problèmes qui paraissent simples ne peuvent pas être résolus par une équation qui admet une solution exacte. Le problème de la chèvre est un classique, il y en a un autre très classique aussi, deux échelles appuyées dans une rue étroite, on connait la longueur des échelles et on mesure la distance de leur intersection par rapport au sol. Il faut calculer la largeur de la ruelle. Ce type de problème se pose dans le calcul de la hauteur d'eau dans un tuyau, ou dans un tonneau.
En fait ce sont des cas amusants de problèmes qui n'ont rien d'exceptionnels. Une bonne méthode de résolution a été expliquée par Newton. pour la comprendre, il faut savoir calculer une dérivée et savoir ce que ça représente.
Bon calcul.

[invitef34f4826]

Merci pour vos réponses,

Donc si j'ai bien compris, je ne trouverais qu'un encadrement de la solution ? Encadrement trouvable avec des dérivées ? Je m'en vais donc faire des recherches sur le sujet !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Habituellement, ce n'est pas le terme "encadrement" qui est utilisé, amis "valeur approchée".
Pour vous donner une idée de la précision obtenue avec un œil normal, c'est de l'ordre de 0.15 mm, soit pour une longueur de 30 cm, environ 1/2000. Donc pour ce genre de calcul, 3 chiffres significatifs, c'est très largement suffisant.

[invitebd98b571]

Bonjour

La dichotomie (en partant de l'intervalle [0, 2] pour l'équation en question) est une méthode numérique bien plus simple (du point de vue théorique et algorithmique) que la méthode de Newton (mais cette dernière peut être l'occasion d'apprendre un chapitre d'analyse ).

La méthode par dichotomie donne un encadrement clair (par définition de la méthode) qui est divisé par 2 à chaque itération.

Pour la méthode de Newton, une preuve raisonnable de la convergence doit donner une valeur approchée de la solution et une majoration de l'erreur commise (donc un encadrement de la solution exacte). Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

De manière générale, pour tout problème numérique, parler de solution approchée sans connaitre la moindre information sur l'erreur commise par rapport à la solution exacte n'est pas une bonne pratique. Donc chercher un encadrement de la solution exacte est tout à fait légitime.