Fonction

[Gohan.]

Bonjour je bloque sur la dernière question d'un problème j'aurai bien voulu que vous m'aidez:
Partie B: On donne la fonction f(x) = exp(x) / ( exp(x) + x ) et définie sur [0;+∞[
Après l'étude de f, j'ai montrer qu'il existe un unique réel α tel que f(x)=x.
Partie C:
Ici il s'agit de déterminer une valeur approchée de α pour cela on considère la suite (Un)/ U₁=1/2 et Un = f(Un-1).
On me dit à la dernière question:
En utilisant la décroissance de f, montrer que α est compris entre deux
termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement
de α d’amplitude 10⁻⁷.
On peut retrouver l'énoncé complet ici: http://ww3.ac-poitiers.fr/math/anna/...tele-a8/a8.pdf

Merci d'avance
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[Gohan.]

Un petit coup de pouce svp, je n'ai pas encore obtenu la solution.

[invite51d17075]

bjr,
ta fonction n'est décroissante qu'entre 0 et 1.
donc il faut d'abord constater que 0<Un<1.
ensuite comme f est décroissante sur l'intervalle alors a<b => f(a)>f(b) et inversement.
f(0,5)>0,5 donc f(f(0,5))<f(0,5) et de manière itérative
si U(n+1)>Un alors U(n+2)<U(n+1) et inversement.
donc la suite Un oscille autour de la valeur a qui vérifie f(a)=a.
il reste à montrer que |U(n+1)-U(n)| est strictement décroissant et à maximiser cette différence

[Gohan.]

Bjr j'ai essayé dans la suite de montrer par récurrence que |U(n+1)-U(n)| est strictement décroissant voilà ce que j'ai fait:
Si n=1 alors ∣ U₂ - U₁∣ = ∣ e³/(3+e³) - 3 ∣ = 2.13 et ∣ U₃ - U₂ ∣ = 0.137 ; ∣ U₃ - U₂ ∣ < ∣ U₂ − U₁ ∣ donc c'est vrai au rang 1.
Supposons que pour tout n non nul, ∣ U(n+2) - U(n+1) ∣ < ∣ U(n+1) − Un ∣
Montrons alors que: ∣ U(n+3) - U(n+2) ∣ < ∣ U(n+2) − U(n+1) ∣
C'est là que je bloque depuis hier je ne sais pas si c'est ma méthode qui n'est pas bonne ou quoi? Pourriez me guider encore?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gohan.]

Et aussi quand vous dîtes maximiser cette différence je suppose que je dois chercher le n minimale pour obtenir une précision à 10⁻⁷ prés
Dans la question antérieur on m'avait demandé "A priori combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une précision à 10⁻⁷ prés" j'ai répondu 24 en utilisant l'inégalité ∣ U(n) - α ∣ ≤ (1/2)ⁿ. Donc pour déterminer cet encadrement de α serai t-il nécessaire de calculer U₂₄?

[invite51d17075]

je ne sais pas ce le prof imagine pour trouver le nb de termes.
je ne vois rien d'évident en fait.
sur excel , 7 termes suffisent.
par contre je ne comprend pas ton équation ∣ U(n) - α ∣ ≤ (1/2)ⁿ ( est ce qcq chose déjà démontré dans l'exercice ? )

[Gohan.]

Oui ça a été déjà démontré (regarder le lien que je vous ai donné c'est le problème d'en bas) .

[invite51d17075]

je n'avais pas ouvert le lien.
alors effectivement il faut repartir de ça ( et oublier la piste que j'avais proposé )
∣ U(n) - α ∣ ≤ (1/2)ⁿ et on veux
∣ U(n) - α ∣ ≤ 10^(-7) donc il suffit de choisir n tel que
(1/2)^n <= 10^(-7)
il suffit de passer en LOG pour avoir un n estimé.

[invite51d17075]

On retombe bien sur 24 avec cette formule, mais en fait on atteint cet écart bien avant ( faire un essai sur excel )
Cdt