Démontrer la circonférence d'un cercle

[invite41dd6597]

Comment démontrer que la circonférence d'un cercle est
2 * pi * R ?
Et pour l'aire ?
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[invited927d23c]

Salut,

Cela vient de la définition du radian (si je me trompe pas). Si tu traces un cercle, et ensuite un angle d'un radian (à partir du centre), la longuer de l'arc de cercle intercepté est égal à R. Et 360° vaut 2pi radian, et donc la circonférence est 2piR.
On peut aussi inscrire un polygone régulier à n côtés dans le cercle, on peut calculer la circonférence du polygone, et donc quand n devient très grand, la circonférence du polygone s'approche de celle du cercle.

Définition de Wikipédia :

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (Π en majuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi

Il y aura sûrement d'autres personnes qui expliqueront mieux.

[shokin]

Prends un polygone régulier à n côtés.

Plus n augmente / tend vers l'infini, plus le polygone tend à devenir un cercle.

Exprime alors le périmètre d'un polygone en fonction du rayon du cercle circonscrit à ce polygone et de n.

Tu trouveras alors une fonction :

Aire du polygone = f(n) = 2*r*pi*sin(pi/n)

Analyse alors quand n tend vers l'infini.

Heu... je crois qu'il faudra démontrer que :

f(n) = n*sin(pi/n) tend vers pi quand n tend vers l'infini.

Ce dont je ne me souviens pas malheureusement.

Shokin

[invite5c27c063]

La formule de la circonférence ne se démontre pas, c'est la conséquence directe de la définition de rappelée plus haut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

La formule de la circonférence ne se démontre pas

Il faut tout de même démontrer que le rapport de la circonférence et du rayon d'un cercle est une constante.

c'est la conséquence directe de la définition de pi

Le fait que ce rapport soit constant n'est pas évident à priori et c'est la condition indispensable pour que la définition de pi ait un sens.

[shokin]

La formule de la circonférence ne se démontre pas, c'est la conséquence directe de la définition de rappelée plus haut.

Le rapport entre la circonférence et le diamère est de 3.14159... quelle que soit la définition de pi.

Je me dis donc qu'il ne dépend pas de celle-ci.

Shokin

[invité576543]

Il faut tout de même démontrer que le rapport de la circonférence et du rayon d'un cercle est une constante.

Le fait que ce rapport soit constant n'est pas évident à priori et c'est la condition indispensable pour que la définition de pi ait un sens.

Pas totalement indispensable. La constance est une particularité de la géométrie euclidienne. Mais dans d'autres géométries suffisamment lisses (e.g., en sphérique), on pourrait définir pi à partir du coefficient du terme de premier degré dans le developpement limité D = 2pi R + o(R²). Cette définition marche évidemment aussi dans le cas euclidien!

(Notons que c'est ce qu'il se passe en pratique dans notre univers. Si on en croit la Relativité Générale, un cercle de rayon 2 milliards d'années-lumière a quelques chances de ne pas avoir une circonférence de 2pi R, si tant est qu'on arrive à définir le cercle et son périmètre... )

Cordialement,