Fonction

[Gohan.]

Bonsoir, pourriez-vous m'aider dans la résolution de cet exercice svp:
Soit la fonction f défini par f(x) = Arctan(x) / x si x≠0 et f(0)=1
1ère partie:
a) Montrer que x-x³ ≤ Arctan(x) ≤ x si x≥0
x ≤ Arctan(x) ≤ x-x³ si x≤0
b) Montrer que f est continue sur ℝ et paire.
c) Etudier la dérivabilité de f sur ℝ puis calculer f'(x) ∀ x ∈ ℝ \ {0}
d) Montrer que ∀ t ∈ ℝ ∫ u²/(1+u²)² . du = -1/2 t².f'(t) (intégrale de 0 à t)
En déduire le sens de variation de f.
e) Tracer la courbe de f.
J'ai fait toute partie sans trop de soucis.
2ème partie: Soit φ : ℝ----->ℝ / φ(0)=1 et ∀ x≠0 φ(x)=1/x ∫ f(t).dt (l'intégrale de 0 à x).
1. Etudier la continuité et la parité de φ.
2. Montrer que ∀ x ∈ ℝ f(x) ≤ φ(x) ≤ 1.

Il s'agit du 2) qui me pose problème. Pour la première j'ai prouver que φ n'est pas continue en 0 par conclusion immédiate puisque la fonction x--->1/x n'est pas continue en 0 et d'un autre côté j'ai trouvé que φ est paire.

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

f(x)= 1/x *Arctan(x) est continue, même en 0. Pourtant tu aurais aussi pu dire "n'est pas continue en 0 par conclusion immédiate puisque la fonction x--->1/x n'est pas continue en 0 "
Donc le fait qu'une fonction ne soit pas continue (et même pas définie) en 0 n'empêche pas que la fonction (définie autrement en 0) soit continue !

Considère une primitive F de f et réécrit φ(x) comme un quotient avec F, puis pense à la définition des dérivées.
Pour la question 2, tu peux travailler avec x>0 (pour x=0, l'inégalité se vérifie - puis parité). L'inégalité f(x) ≤ φ(x) se réécrit xf(x)≤∫ f(t)dt. Si tu connais la formule de la moyenne, j'ai l'impression que c'est immédiat.

Bon travail !

NB : Pourquoi dans la forum collège/lycée ? C'est plutôt du niveau post bac.

[Gohan.]

Bonjour.

f(x)= 1/x *Arctan(x) est continue, même en 0. Pourtant tu aurais aussi pu dire "n'est pas continue en 0 par conclusion immédiate puisque la fonction x--->1/x n'est pas continue en 0 "
Donc le fait qu'une fonction ne soit pas continue (et même pas définie) en 0 n'empêche pas que la fonction (définie autrement en 0) soit continue !

Vous avez bien raison sur ce point. Voilà ce que j'ai fait:
On sait que f est continue sur ℝ donc y admet des primitives. Soit F une primitive de f
alors φ(x) = 1/x [ F(x) - F(0) ]
Continuité en 0:
lim(0⁺) φ(x) = lim (0⁺) [ F(x) - F(0) ] / [ x - 0 ]
Or étant donné que F est dérivable en 0, cette limite existe et est fini : lim (0⁺) φ(x) = l (constante)
D'une manière analogue on montre que lim (0⁻) φ(x) = l
La fonction φ est alors continue en 0.
Sur ℝ \ {0},
la fonction x----->1/x est continue
" " " x----->F(x) est aussi continue
donc φ est continue sur ℝ \ {0}.
Conclusion φ est continue sur ℝ .
Parité:
φ(-x) = -1/x [ F(-x) - F(0) ] (1)
Or on avait montré que f est paire alors la fonction F est impaire (résultat obtenu par intégration) ainsi F(-x) = -F(x) et donc F(0)=0
Remplaçons ces résultats dans (1)
==> φ(-x) = 1/x F(x) = φ(x) d'où φ est paire.

Pour la question 2, tu peux travailler avec x>0 (pour x=0, l'inégalité se vérifie - puis parité). L'inégalité f(x) ≤ φ(x) se réécrit xf(x)≤∫ f(t)dt. Si tu connais la formule de la moyenne, j'ai l'impression que c'est immédiat.

Je connais bien la formule de la moyenne, mais je me demande bien en quoi ça me permet de conclure.

Merci d'avance

[Gohan.]

Je pense avoir trouvé la solution:
Comme vous l'avez dit l'égalité peut d'abord se prouver sur ℝ₊ l'autre partie étant obtenue par parité.
En fait j'avais montré dans la partie 1 que f est décroissante sur ℝ₊ ainsi, pour t ∈ [0;x] on a :
f(x) ≤ f(t) ≤ f(0)
--> f(x) ≤ f(t) ≤ 1
--> x f(x) ≤ ∫ f(t).dt ≤ x
--> x f(x) ≤ ∫ f(t).dt ≤ x
--> f(x) ≤ 1/x ∫ f(t).dt ≤ 1
d'où f(x) ≤ φ(x) ≤ 1.
Je vais poursuivre l'exercice en vous tenant au courant en cas de blocage. Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour la continuité de φ en 0, tu n'as pas besoin de faire deux cas, le calcul de la limite est celui de la formule de la dérivée, donc pas besoin de savoir le signe de x-0.

Cordialement.

[Aguerri]

Bonjour, Gohan

Je me retrouve bloqué sur une même question que toi, sauf que moi je suis bloqué dessus du coup...

La question d) avec l'intégration par partie à faire.

Je ne sais pourquoi mais je trouve pas ce qui est demandé soit (-1/2)×t^2 ×f'(t)

Si tu pourrais me donner un coup de pouce pour que je poursuive s'il te plaît.

Merci bien

[Aguerri]

Je tiens à préciser que pour montrer que la fonction est continue et paire, j'ai dérivé vu que l'on sait que toute fonction derivable est continue.
Je trouve pour la dérivée: (t^3/1+t^2)-arctan(t)/t^2

Par contre pour montrer qu'elle est paire je vois pas trop, je sais qu'il faut utiliser: f(-t)=f(t)
Mais arctan est impaire... et arctan(-t) ça donne quoi enfin je suis vraiment bloqué ce serai cool de m'aider merciii gohan ou bien quelque d'autre !

Bonne journée.

[gg0]

Bonjour.

Cette discussion date de 5 ans ! Goran n'est pas revenu depuis 3 ans. Peu de chance que tu aies une réponse.

Cordialement

[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Je tiens à préciser que pour montrer que la fonction est continue et paire, j'ai dérivé vu que l'on sait que toute fonction derivable est continue.

Il y a un gros problème ici.
Vous faites les choses à l'envers. On vous demande de montrer que la fonction est continue, et vous, vous supposez qu'elle est dérivable. Et vous dites, puisqu'elle est dérivable, elle est continue.
Sauf que vous n'avez pas montré qu'elle est dérivable. Vous avez juste fait un calcul de dérivée sans savoir si vous aviez "le droit" de le faire.
Il faut revenir aux bases et justifier la continuité à partir des théorèmes de base qui vous disent que telle ou telle fonction "élémentaire" est continue, que le produit ou la quotient de fonctions continues est continu sous certaines conditions, que la réciproque d'une fonction bijective continue est continue, etc.