Bonjour
On sait que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n²
1+3+5+...+n=n²
Démonstration par récurrence
Soit la proposition Pn:1+3+5+...+n=n²
1+3=4=2² vrai
Supposons que Pn est vraie au rang n
hérédité: il faut démontrer que c'est vrai au rang (n+1)
Là je ne vois pas comment démarrer!
Merci pour votre aide.
Tu l'écris et tu as une chance de reconnaitre une identité remarquable.
si n est le plus grand terme de la sommation, le suivant nombre impair est n+2 et non n+1Envoyé par kaderben
par ailleurs
est faux , c'est :
1+3+5+...+n=((n+1)/2)²
( à l'instar de 1+3=2² ; 1+3+5=3² ; 1+3+5+7=16=4² )
oui.
non.
Le calcul le plus direct consiste à dire que la somme des n premiers entiers (bien connue) est égale à la somme des impairs + la somme des pairs, et factoriser 2 dans la somme des pairs...
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Kaderben,
la somme des 5 premiers impairs est 1+3+5+7+9, elle ne termine pas par n=5.
Revois l'écriture de ta somme, et quel est le terme ajouté ensuite.
Cordialement.
Bonjour à tous et merci pour vos réponses.
Oui, j'ai écrit une bêtise à propos de n qui est le nombre de termes et non le dernier nombre de la somme.
Je reprends.
Soit la propriété Pn : Sn=1+3+5+7+9+…+k = n² (il y a n termes) et k est le dernier
1+3=2²=4 vrai (il y’a deux termes)
Supposons que Pn est vraie au rang n
Il faut démontrer qu’elle est vraie au rang (n+1)
S(n+1)=Sn + P (P terme ajouté de rang n+1)
P=k+2
K=n²-(n-1)² d'après la propriété supposée vraie
Donc S(n+1)=n²+n²-(n-1)²=n²+2n+1=(n+1)²
Pn vraie au premier rang et héréditaire donc pour tout n :
1+3+5+7+9+…+k =n²
C'était la démonstration par récurrence (si elle est juste !).
J'essayrai de le faire si j'y arrivejacknicklaus
Le calcul le plus direct consiste à dire que la somme des n premiers entiers (bien connue) est égale à la somme des impairs + la somme des pairs, et factoriser 2 dans la somme des pairs...
il y a une faute de calcul , ( oubli ?)
ici ton k =n²-(n-1)² et
S(n+1)=S(n)+k+2
le +2 a disparu de ton calcul final, et il est indispensable pour avoir un +1 à la fin dans le "n²+2n+1" ( sinon ce serait -1)
par ailleurs, c'est un peu tortueux , il est plus simple et lisible d'écrire n en fct de k ( ou l'inverse ) et de faire la récurrence sur une seule variable.
Sinon la méthode en "enlevant" les chiffres pairs amène directement à la solution sans récurrence.
Tu peut commencer à écrire pour k impair
1+3+5+....k= (1+2+3+...+k-1+k)-(2+4+...+k-1)
=(1+2+3+...+k-1+k)-2(1+2+3...+(k-1)/2)
tu retrouve deux sommes dont on connaît la formule et en les soustrayant tu retrouve un n² ( n correspondant bien au nb des chiffres de ta somme de départ )
Bonjour.
Pour éviter toutes ces confusions, il serait bien d'écrire la somme sous la forme 1+3+5+7+...+(2k-1) (pour k allant de 1 à n).
La réponse est alors immédiate.
Cordialement,
Duke.
encore plus lisible, tu as raison.
sinon, en direct, en écrivant que la somme de 1 à 2n est la somme des pairs et la somme des impairs
d'où
d'où
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Voici une méthode que j'ai faite quand j'étais en seconde (il y a longtemps !)
1²-0²=1 1+0=1
2²-1²=3 2+1=3
3²-2²=5 3+2=5
4²-3²=7 4+3=7 etc…
On remarque que la différence de deux carrés de deux nombres consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres et cette somme est impaire.
Preuve:
Soit n et n+1 deux entiers consécutifs:
(n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1=n+(n+1)
2n+1 est bien impair
Sn=1²-0²+ 2²-1² + 3²-2²+ 4²-3²+5²-4²+...+n² ( n est le dernier terme et aussi le rang du dernier terme qui est lui même)
Les termes s'éliminent deux à deux et Sn=n²
Il ne faudra pas m'en vouloir si ce n'est pas rigoureux ou si je "triche un peu" car ça fait longtemps!
Dernière modification par kaderben ; 18/10/2017 à 17h53.
Une méthode de niveau première :
les impairs sont en progression arithmétique, donc la somme des impairs de 1 à 2n-1 vaut
Cordialement.
bonjour à tous.
je viens de m'inscrire au site.
voici une petite vidéo que je pense originale sur le sujet de la somme des nombres impairs.
https://www.youtube.com/watch?v=7UovWvQ7rEA
Faite pour amuser mes petits enfants
