Dérivé de ((x^2 + x + 1)/x^2)e^(-1/x)

[invite82520b8c]

Bonjour,

J'ai la fonction définie sur [0;+oo[ par:

((x^2 + x + 1)/x^2)e^(-1/x) pour x > 0 et f(0) = 0

La question est la suivante:
Démontrer que, pour tout x de [0;+oo[, on a:

f'(x) = ((1-x)/x^4)e^(-1/x)

Alors pour répondre j'ai procédé en plusieurs étapes:

1. On voit qu'il y a une forme u*v (u=(x^2+x+1)/x^2 et v = e^(-1/x))

2. On voit que dans (x^2+x+1)/x^2, il y a une forme u/v

3. On calcule donc d'abord la forme u/v

4. Dans (x^2+x+1)/x^2 :
u = x^2+x+1 u' = 2x + 1
v = x^2 v' = 2x

En calculant u/v = u'v -v'u je trouve (-3x^2-2x)/x^4

5. Ensuite je dérive e^(-1/x) je trouve (1/x^2)e^(-1/x)

6. À partir de là je bloque car il faut dériver u*v = u'v +v'u et lorsque je fais mes calculs je ne trouve pas le résultat attendu..

Pourriez-vous m'éclaire s'il-vous-plaît ? Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Il y a une erreur dans la dérivée de (x^2+x+1)/x^2, qui est d'ailleurs celle de (x+1)/x^2 puisque (x^2+x+1)/x^2=1+ (x+1)/x^2.

Cordialement.

[invite82520b8c]

Ah d'accord merci ! Du coup il faut que je calcule la dérivé de (x+1)/x^2 c'est ça ?

Je vais essayer de calculer ça:

u = x+1 et u' = 1
v = x^2 et v' = 2x

((x+1)/x^2)' = (x^2 - 2x(x+1))/x^4
= (x^2 - 2x^2 +1)/x^4
= (-3x^2 +1)/x^4
Ensuite pour dériver toute la fonction on a:

u = (x+1)/x^2 et u' = (-3x^2+1)/x^4
v = e^(-1/x) et v' = (1/x^2)e^(-1/x)

Donc f'(x) = (e^(-1/x)((-3x^2+1))/x^4) + (1/x^2)e^(-1/x)((x+1)/x^2)
f'(x) = ?????

Je bloque toujours..

[gg0]

Que d'erreurs !!
"((x+1)/x^2)' = (x^2 - 2x(x+1))/x^4
= (x^2 - 2x^2 +1)/x^4
= (-3x^2 +1)/x^4"

Ce n'est pas sérieux !! Développer 2x(x+1) se fait par les règles qu'on voit en cinquième, et l'autre erreur est pure mauvaise volonté. Tu soustrais deux choses (des x²) à une chose et tu en obtiens -3 ?????

[A voir en vidéo sur Futura]