Divisibilité par 11 de la somme de deux nombres particuliers

[Pernelle]

Bonjour,
problème:
A et B sont deux nombres entiers strictement compris entre 10 et 100 dont les écritures utilisent les mêmes chiffres dans l'ordre inverse(comme 53 et 35)
Montrer que la somme de ces deux nombres est toujours divisible par 11.

Je vois que 53+35=88 donc si la somme des chiffres des unités est égale à la somme des chiffres des dizaines, , la somme des deux nombres est divisible par 11
On a donc ainsi 11,22,33,44,55,66,77,88,99 divisible par 11
Mais si l'on prend certains nombres , leur somme dépasse 100 comme pour les plus grands nombres possibles
97+79= 176 divisible par 11
98+89= 187 divisible par 11

Dans ces cas, où la somme dépasse 100, le nombre obtenu est divisible par 11 mais les conditions sont différentes: la somme du chiffre des dizaines est égal à la somme du chiffre des unités +1

Ma recette de cuisine étant donnée, quelle serait la recette purement mathématique s'il vous plaît?
Mille mercis pour les répondeurs

Pernelle
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

si le premier nombre s'écrit sous la forme , avec a le chiffre des dizaines et b celui des unités. Alors le second nombre s'écrira sous la forme . (attention ce n'est qu'une écriture, cela ne signifie pas )

Essaie d'exprimer autrement et à l'aide de a et de b pour pouvoir calculer en fonction de a et de b.

RoBeRTo

[Pernelle]

Bonjour,

si le premier nombre s'écrit sous la forme , avec a le chiffre des dizaines et b celui des unités. Alors le second nombre s'écrira sous la forme . (attention ce n'est qu'une écriture, cela ne signifie pas )

Essaie d'exprimer autrement et à l'aide de a et de b pour pouvoir calculer en fonction de a et de b.

RoBeRTo

J'ai fait comme cela avec x le chiffre des d et y le chiffre de u
x+y = y+x si xy +yx <100
et si xy+yx > 100 ?

[Médiat]

Bonjour,

Une fois de plus faire des mathématiques est plus fructueux que les recettes de cuisine : un nombre qui s'écrit ab en base dix est par définition égal à 10a +b et donc ba est égal à 10b + a, il suffit de faire la somme pour avoir la réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pernelle]

Bonjour,

Une fois de plus faire des mathématiques est plus fructueux que les recettes de cuisine : un nombre qui s'écrit ab en base dix est par définition égal à 10a +b et donc ba est égal à 10b + a, il suffit de faire la somme pour avoir la réponse.

Bonjour,
Je suis désolée, je ne comprends pas...vous n'êtes pas étonné? Vous êtes content!
11a+11b et ce que demande la prof est démontré ?
Il y deux cas, celui où la somme A+B est <100 et celui où A+B est supérieur à 100, c'est ce que me dit ma recette de cuisine
Je suis incapable d'aider donc motus

Mille mercis quand même

Pernelle

[Médiat]

Bonjour,

Vous trouvez 11a + 11b qui est égal à 11(a + b), qui est bien un multiple de 11 (par définition d'un multiple), il n'est donc pas utile de distinguer des cas.

[Pernelle]

Bonjour,

Vous trouvez 11a + 11b qui est égal à 11(a + b), qui est bien un multiple de 11 (par définition d'un multiple), il n'est donc pas utile de distinguer des cas.

Je vous remercie

Pernelle

[Pernelle]

Bonjour,

Vous trouvez 11a + 11b qui est égal à 11(a + b), qui est bien un multiple de 11 (par définition d'un multiple), il n'est donc pas utile de distinguer des cas.

Bonjour

Médiat, vous écrivez"il n'est donc pas utile de distinguer des cas" mais nous avons un impératif:

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A et B sont deux nombres entiers strictement compris entre 10 et 100 dont les écritures utilisent les mêmes chiffres dans l'ordre inverse(comme 53 et 35)

-------------------
Or, selon les nombres choisis compris strictement entre 10 et 100,on a A+B<100 ou A+B> 100.
L'exercice nous impose-t-il pas de faire une distinction?

Je ne comprends sauf à écrire ma cuisine...

Je suis bouchée à l'émeri , sur cet exercice là (en plus de beaucoup d'autres, je sais)

Pernelle

[Médiat]

Bonjour

Justement, la méthode que je vous ai proposée ne nécessite pas de distinguer plusieurs cas ì

[gg0]

L'énoncé de l'exercice n'impose pas cette distinction, c'est toi qui as décidé de la faire. comme la résolution n'impose pas non plus de la faire.

Je reprends l'idée : A est un nombre composé de d dizaines et u unités, il s'écrit donc 10*d+u, ou en confondant les nombres d et u avec les chiffres qui les notent, A=du. Le souligné pour dire qu'on utilise d et u comme des chiffres (*). Donc B=ud, et vaut donc u dizaines et d unités (**). Par addition, A+B vaut (d+u) dizaines et (u+d) unités : A+B=10fois (d+u) + une fois (d+u)= 11 fois (d+u).
Donc A+B est un multiple de 11.

Cordialement.


(*) 53 est écrit avec les chiffres 5 et 3, et vaut 5 dizaines et 3 unités, où 5 et 3 sont maintenant des nombres (ils servent à compter, plus à noter)
(**) 35 vaut 3 dizaines et 5 unités

[Pernelle]

L'énoncé de l'exercice n'impose pas cette distinction, c'est toi qui as décidé de la faire. comme la résolution n'impose pas non plus de la faire.

Je reprends l'idée : A est un nombre composé de d dizaines et u unités, il s'écrit donc 10*d+u, ou en confondant les nombres d et u avec les chiffres qui les notent, A=du. Le souligné pour dire qu'on utilise d et u comme des chiffres (*). Donc B=ud, et vaut donc u dizaines et d unités (**). Par addition, A+B vaut (d+u) dizaines et (u+d) unités : A+B=10fois (d+u) + une fois (d+u)= 11 fois (d+u).
Donc A+B est un multiple de 11.

Cordialement.


(*) 53 est écrit avec les chiffres 5 et 3, et vaut 5 dizaines et 3 unités, où 5 et 3 sont maintenant des nombres (ils servent à compter, plus à noter)
(**) 35 vaut 3 dizaines et 5 unités

Je vous remercie Médiat et ggO mais je dois dire que l'explication détaillée de ggO me sied bien.

Je suis dans la situation d'un élève du collège en apprentissage sur mes vieux jours et j'ai besoin que l'on me détaille tout, j'ai beaucoup de bases oubliées et je réapprends voire apprends
Mille mercis à tous ,ce fut laborieux

Pernelle

[Pernelle]

J'ai rédigé très progressivement , voir PJ.
J'envoie au papa qui fera la leçon à partir de la PJ si c'est bon
Est-ce bon?
Mille mercis à tous
Pernelle