Raisonnement par récurrence Un>Un+1 avec Un+1=(kUn+a)/(k'Un+b)

[Etts]

Bonjour à tous,

J'ai un léger problème avec un cas précis du raisonnement par récurrence.
Comme dit dans le titre, je ne vois pas comment prouver par récurrence que Un>Un+1, et plus précisément c≥Un≥Un+1≥d, lorsque Un+1=(kUn+a)/(k'Un+b). Lorsque je décompose pour transformer c≥Un≥Un+1≥d en c≥Un+1≥Un+2≥d, soit je suis bloquée a un moment, soit j’aboutis a un résultat que je sais faux. Je ne sais si j'utilise la mauvaise technique ou si je me trompe sur une étape.

Donc je viens chercher de l'aide ici, en espérant que l'un d'entre vous pourra m'aider ^^

Merci d'avance
Etts
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[gg0]

Bonjour.

Tu ne risque pas de la montrer, c'est faux, ça dépend des cas de valeurs de k, k', a et b.

Si tu es fa ce à un calcul précis, avec des valeurs connues de k, k', a et b, expose-le, et montre ce que tu fais (" j’aboutis a un résultat que je sais faux").

Cordialement.

[Etts]

En fait, le résultat que je cherche, à savoir que c≥Un≥Un+1≥d, est vrai, on l'a prouvé graphiquement, la suite Un est décroissante. Et il est même dit dans l'énoncé que c'est vrai. Donc je peux le montrer.
Ce que je disais, c'est que j'aboutis parfois avec mes calculs a un résultat qui n'est pas le bon. Et j'aimerais avoir la manière de faire, que je ne comprends pas, et non le résultat en lui-même, car c'est un exercice noté, et j'aimerais au maximum ne pas tricher :/ Est-il forcément nécessaire de donner les chiffres exactes ?
Ah, et je sais pas si ça se comprend correctement dans mon premier message, aussi je le précise, mais c'est Un+1=((k*Un)+a)/((k'*Un)+b) et non Un+1=(k*(Un+a))/(k'*(Un+b)).

[gg0]

Incompréhensible !

Tu n'as pas dit quel est l'énoncé, et s'il y a une chose dont je suis sûr, c'est qu'il n'y a pas dans ton énoncé des lettres k, k', a et b, mais des valeurs. Tu ne peux pas prouver graphiquement avec des lettres !!

Quel est le vrai énoncé ???

NB : "c'est Un+1=((k*Un)+a)/((k'*Un)+b) et non Un+1=(k*(Un+a))/(k'*(Un+b))." Oui, j'y avais pensé, ça ne change rien à la situation : (2Un+4)/(3Un+9)=(2(Un+2))/(3(Un+3)). Ce sont les valeurs de a et b qui changent, mais c'est la même "forme".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etts]

Je n'ai pas dis qu'il n'y avait pas de valeurs ! --" J'ai dis que je préférais ne pas les donner si possible car c'est un exercice noté et que j'aimerais avoir la manière de faire que je ne comprend pas et pas le résultat, pour ne pas tricher.
Et AVEC les valeurs, oui on peut prouver graphiquement, ce qui a été fait.
Après, s'il faut vraiment les donner, c'est Un+1=(3Un+2)/(Un+4) et 6≥Un≥Un+1≥0.

[gg0]

Ok.

Avec cette suite-ci, on a , avec la fonction f définie par .
Il est facile de voir que f est une fonction croissante, que et que .
Donc
Et on voit que l'hypothèse de récurrence donne , donc que .

Là, je peux t'expliquer, car la fonction f est connue, et ici elle est croissante. Par contre, dans ce cas, je ne peux pas prouver que pour . Parce que c'est faux. Par exemple pour , on a ; Même chose pour .

Par contre, si tu as , comme sur [1,6], f(x)-x est positif (étude de signe simple), on en déduit que , et on remplace x par U_n.

Cordialement.

[Etts]

Mais on sait que Un≥Un+1, et je vois que la suite converge vers 1 et est décroissante. Aussi U0=6 et vu que Un+1=(3Un+2)/(Un+4), Un≥Un+1 pour tout n≥0. Je sais bien que ni Un, ni Un+1 ne peuvent être égale à 0, mais la consigne exacte est "Démontrer que, pour tout n≥0, on a 6≥Un≥Un+1≥0". Et si la fonction est croissante, ce n'est pas le cas de la suite.
Et ce que tu m'as expliqué, bien qu'exact, ne répond pas vraiment à ma question dans ce cas :/
Merci de m'avoir répondu tout de même.

[gg0]

Désolé, je ne réponds qu'aux questions que tu écris ici.
Comme tu n'avais jamais dit que U0=6, je ne pouvais pas traiter correctement ta question. Ton énoncé est assez bizarre, car effectivement on a une suite décroissante qui est toujours supérieure à 1. Je ne peux qu'imaginer que le 0 est une erreur de copie.

En tout cas, tu as soigneusement dissimulé l'énoncé véritable, ce qui te met en faute, et je te laisse chercher seul, moi, j'ai fait ce qui était possible et au delà. Tout ça pour m'entendre dire que je ne réponds pas à une question que tu n'as pas posée. J'ai pourtant répondu aux questions qui étaient écrites. Telles qu'elles étaient écrites.

[Etts]

Je te prierais de lire ce commentaire en intégralité avant de t'offusquer d'une quelconque manière, car je crois que quelques points sont à revoir.

Alors, de un, la réponse que tu m'as donné ne répond à aucune question que j'ai posé. De deux, je ne t'ai rien reproché, je t'ai même remercié. De trois, "soigneusement dissimulé" ? On est dans un film d'espionnage ? Je n'ai jamais dissimulé quoi que ce soit, vu que depuis le début, je dis qu'il faut PROUVER que Un≥Un+1, ce qui est exactement ce que dis la consigne. Quatrièmement, je t'ai demandé s'il était vraiment nécessaire de donner les valeurs car je ne voulais pas avoir la réponse toute faite, mais comprendre de quelle manière on peut le prouver par récurrence sachant qu'il y a Un au numérateur et au dénominateur à la fois, question à laquelle tu n'as réellement pas répondu cette fois.
U0=6 est la SEULE et UNIQUE information que je n'ai pas donné, j'ai simplement oublié,et ça je m'en excuse, j'ai donné tout le reste sinon, donc "soigneusement caché", c'est vraiment exagéré. Surtout de dire que ça me met en faute, et que tu ne m'aidera plus, sans AUCUNE raison valable. Si je n'avais rien à faire de ton aide et que je t'accusais de quoi que ce soit, je l'aurais dit sincèrement, alors m'accuser de médisance ainsi est vraiment bas, ça donne l'impression que tu te pose en victime d'un quelconque complot de ma part cherchant à te faire perdre ton temps... Quand je te remerciait, ce n'était pas des paroles en l'air, tu as pris du temps pour me répondre et je t'en remercie sincèrement, mais le fait est que tu n'as malheureusement pas répondu à ma question, qui depuis le début est la même et énoncée au premier post. Ce n'était pas dans mes intensions de compliquer ainsi la tache, et dire ainsi le contraire est proprement dégueulasse, excuse moi du terme.

Tu ne veux plus m'aider ? Eh bien ne m'aide plus, ça me désole mais tu es ton propre maitre. Mais une chose est sure, je t'interdit de m'insulter ainsi. Je ne t'ai rien fait, t'ai toujours parlé poliment et n'ai jamais "haussé le ton" dans mes réponses, ce qui si j'en crois les ponctuations du type "!!!" et "???", n'ai pas ton cas. En plus, tes réponses sèches ne sont pas des plus agréables, surtout que j'ai tout de suite expliqué pourquoi je préférais ne pas dire les valeurs (2e et 3e commentaires de ma part, en comptant le post initial).

Sincèrement, je suis triste que ça se termine ainsi, car j'ai vraiment besoin d'aide et je trouve sympathique l'initiative que tu as d'aider les gens. Mais si c'est pour recevoir ce genre de commentaires blessant qui ne reflètent pas du tout la réalité, il vaut peut-être mieux en effet que je me tourne vers quelqu'un d'autre.
J'espère que tu peux comprendre qu'une simple affaire d'incompréhension n'est pas un cas de "dissimulation soigneuse et délibérée" comme tu semble le croire.

Sur ce, bonne journée

[gg0]

Décidément,

tu ne saisis pas ma différence entre "penser" et "écrire". Tu poses une question générale dans ton premier message, "comment faire pour prouver ..." qui n'a pas de sens parce qu'on ne peut pas. je t'explique que c'est seulement possible pour des valeur particulières (pour d'autres c'est faux), puis tu parles de calculs que tu as fait (tu y penses, mais tu ne les donnes pas), ce qui ne sert à rien. A part ça, tu ne caches pas tes énoncés et tes calculs ???
Ensuite, tu donnes un morceau d'énoncé où il manque l'élément essentiel : U0. mais tu ne caches pas tes énoncés ? Et finalement tu donnes U0, mais jamais tu n'as donné un énoncé d'exercice. Il a fallu que j'imagine, que je traite des questions plus générales, et finalement tu conclus "ce que tu m'as expliqué, bien qu'exact, ne répond pas vraiment à ma question dans ce cas "
Autrement dit, ta question est dans ta tête, pas ici. Moi j'ai répondu à ce que tu écrivais.
Désolé, je ne suis pas télépathe, c'est un de mes principaux défauts.

J'ai essayé de t'expliquer du début que tu posais de fausses questions (puisque on ne peut pas faire ce que tu demandes), mais tu n'as pas accepté de vraiment lire les réponses, tu es resté sur ce que tu avais dans la tête.
Ça ne sert à rien de demander de l'aide si on ne dit pas quel est le vrai problème.

Une impression (peut-être fausse) : Tu as déduit d'une ou deux corrections d'exercices qu'on "doit faire ceci" ("comment prouver par récurrence que Un>Un+1") alors qu'en maths, la seule obligation qu'on a est d'appliquer les règles et rien d'autre, et que suivant les cas, ce sera vrai ou faux, et démontré de différentes façons quand c'est vrai. Dans le message #6 tu as un schéma de preuve qui n'utilise d'ailleurs pas une récurrence.

Bonne journée à toi aussi.