Raisonnement par récurrence

[invite2cd005f4]

Bonjour à tous,

j'ai un problème avec le raisonnement par récurrence (qui fait d'ailleurs partie d'un exercice sur la probabilité):

On sait p(n)= (3n-1)/(4n-2)
Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 3/4 < p(n) <= 1

Je suis sûre qu'il faut utiliser le raisonnement par récurrence. Je suis parvenue à compléter la phase d'initiation où j'ai montré que 3/4 < p(1) <= 1, p(1) étant 1, donc la propriété P1 étant vraie. Dans la phase d'hérédité je suppose que 3/4 < p(k) <= 1 où k est un entier naturel non nul, mais je ne sais pas comment démontrer que 3/4 < p(k+1) <= 1.

J'ai commencé par écrire: 3/4 < (3k-1)/(4k-2) <= 1. Mais je n'ai aucune idée comment arriver à p(k+1) à partir de ça.

Quelques idées?
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[invitea3eb043e]

La récurrence, c'est bon mais ce n'est pas une raison pour la mettre à toutes les sauces ! Pourquoi ne pas simplement étudier la variation de ta fonction p(n) ?

[invite2cd005f4]

Bien sûr! Cela ne m'est pas venu à l'esprit. Merci beaucoup!

[PlaneteF]

Bonjour,

Quelques idées?

Oui une idée toute simple, ne pas "aller chercher midi à quatorze heures" , ... ici la démonstration est immédiate :

Puisque , démontrer que revient à démontrer que (produit en croix), ... ce qui est évident ...

Et démontrer que revient à démontrer que (re produit en croix), ... ce qui est tout aussi évident

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Ce qu'écrit PlaneteF est juste... dans ce cas précis parce que les dénominateurs sont positifs. Il serait dangereux de faire croire que cette méthode est générale.