raisonnement par récurrence

[invite9a9ff281]

Question 3 :
Soit n un entier naturel

1. Démontrer que les propriétés "3⁴ⁿ-1 est un multiple de 5" et "3⁴ⁿ+1 est un multiple de 5" sont héréditaires.

2. Les deux propriétés précédentes sont-elles vraies pour tout n de N?

Question 4

Démontrer par récurrence que :
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, 3²ⁿ2^n-3 est un multiple de 7.

Question 5

La suite (u_n) est def par: u₀=1
u_n+1 = u_n+2n+3 pour tout n de N

1. Conjecturer, a l'aide de la calculatrice, une expression de u_n en fonction de n.

2. Démontrer cette conjecture par récurrence.


J'ai bien réussi les premières question et la 3 mais la suite les questions 4 et 5 je n'y arrive pas. POUVEZ VOUS M'AIDER ???? s'il vous plait...
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[invite9a9ff281]

Pour la question 4 :
je peux dire que 3²ⁿ-2^n-3=7t
mais après je vois pas comment faire...

[invite9a9ff281]

1. Soit n un nombre entier naturel.
Soit 3^4p - 1 = 5k et 3^4p + 1 = 5k ou k appartient à Z

Il faut donc démontrer que 3^4(p+1) - 1 = 5k et 3^4(p+1)+1 = 5k

- 3^4(p+1) - 1 = 3^4p x 81 - 1
- 3^4(p+1) - 1 = (5k+1) x 81 - 1 car 3^4p - 1 = 5k
- 3^4(p+1) - 1 = 5k x 81 + 80
- 3^4(p+1) - 1 = 5 ( 81k + 16)
- 3^4(p+1) - 1 = 5 ( 34k+16) ou k appartient à Z

- 3^4(p+1) + 1 = 3^4p x 81 +1
- 3^4(p+1) + 1 = (5k-1) x 81 + 1 car 3^4p + 1 = 5k
- 3^4(p+1) + 1 = 5k x 81 - 80
- 3^4(p+1) + 1 = 5( 81k - 16)
- 3^4(p+1) + 1 = 5 ( 3^4k - 16) ou k appartient à Z

Donc 3^4(p+1) + 1 et 3^4(p+1) - 1 sont héréditaires et sont deux multiples de 5

2. Initialisation pour n0 = 1

3^4n - 1 = 3^4 -1 = 80
80 est bien un multiple de 5 puisque 80/5 = 16
donc 3^4n - 1 = 5k

3^4n + 1 = 3^4 + 1 = 82
Or 82 n'est pas un multiple de 4, l'hérédité est donc impossible

voilà le résultat pour la question 3 que j'ai trouvé mais aidé moi pour la suite

[invite6e71eaf9]

Bonjour,
pour la question 3 j aurais procédé comme cela:
3^(4(n+1))=3^(4n) x 3^4
3^(4(n+1))=81^n x 81

or 81=5k+1 avec k entier
donc :
3^(4(n+1))=(5k+1)^n x (5k+1)

or:
(5k+1)^n=5k'+1 avec k' entier (avec la formule d Euler tu as
(5k+1)^n=(5k)^n+ ... + 1)

on a donc: 3^(4(n+1))=(5k'+1) x (5k+1)

soit: 3^(4(n+1))=5k''+1

3^(4(n+1)) -1 est donc un multiple de 5

bien sur si tu connais les congruences c'est beaucoup plus simple a rédiger...

Pour l'hérédité de 3^(4n)+1 c'est pareil.

La question 4 a du être mal rédigée car si n=4 par ex on a :

3^(2n) x 2^(n-3)=13122 qui n est pas divisible par 7...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a9ff281]

Je connais pas les congruences
... pour la question 4 c'est : 3²ⁿ - 2^n-3
est multiple de 7

[invite9a9ff281]

j'avais oublié le moins, d'ou le fait qu'on ai pris ça pour un x...

[invite0a0c7f79]

Simple récurrence :

Tu vérifies que ça marche pour n=3 :


Puis tu supposes que c'est vrai au rang n, comme tu as fait dans ton deuxième message.
Puis tu essayes au rang n+1 :


Puis il te suffit de factoriser par 7, et tu obtiens à nouveau un résultat de la forme 7K, et cqfd par récurrence (une des étapes du calcul ci-dessus, à savoir au niveau du 2ème signe =, peut te paraître artificielle mais j'ai pas trouvé mieux)

[invite9a9ff281]

Merci =) c'est vraiment gentil ton aide =) parce que là je comprenais pas comment je devais m'y prendre vraiment

Par contre pour la quest 5 c'est pareil je trouve pas non plu enfin j'ai cherché un peu mais le résultat me parait étrange...
u_n+1= 2N + n ² +1
d'ou u_n= n²

...

[invite6e71eaf9]

Puis tu essayes au rang n+1 :

c'est 2^(n-3)x(3²-2)+3²x(3^(2n)-2^(n-3)) petite faute de frappe je pense.

[invite0a0c7f79]

Si je calcule rapidement les premiers termes de la suite, je trouve :



Mh... Tu vois pas un lien quelconque entre les différentes résultats ? ...

Cherche bien... (et lis plus bas si tu trouves pas)















Il semblerait que

Pour la récurrence, je te laisse chercher tout seul, prends exemple sur la précédente (même si elle ne doit pas être identique, l'idée doit être la même).


--- Exact Crow, merci, je m'étais embrouillé entre les chiffres ^^

[invite9a9ff281]

ok d'accord merci pour le coup de main, je ne suis pas sure de trouver mais bon, en réfléchissant bien j'espère y parvenir =)