Exercice: primitive d'une fonction rationnelle

[invitec5691a69]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué sur une question de l'exercice suivant.

Soit f la fonction définie sur I=]3;+°°[ par f(x)= (x²-6x+8)/(x-3)²

1) Etudier le signe de f sur I
On a --> au dénominateur (x-3)²>0 pour tout x, à l'exception de x=3
--> au numérateur x²-6x+8 qui est un trinôme du second degré dont les racines réelles sont x1=2 et x2=4
--> le signe de f(x) défini par le trinôme ci dessus, placé au numérateur. Il est du signe de -a à l'intérieur de ses racines et il est du signe de a à l'extérieur de celles-ci, soit signe moins sur ]3;4] ET signe plus sur [4;+°°[
2) Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle I, f(x)=1-(1/(x-3)²)
On a (x-3)²=x²-6x+9.
D'où f(x)= (x²-6x+8)/(x²-6x+9)
Je n'arrive pas à aller plus loin...
3) En déduire une primitive de f sur I
Je pense pouvoir faire celle-ci une fois la réponse à la question 2 trouvée, vu qu'on a déjà fait des exercices de calcul de primitives auparavant.

Merci pour votre participation.


Haddock.
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[gg0]

Bonjour.

x²-6x+8=(x²-6x+9) + ???
Bizarre que tu n'aies pas vu ça ! Ni essayé de faire le calcul à partir de 1-1/(x-3)² pour retrouver (x²-6x+8)/(x-3)².

En fait, au lieu de chercher, tu pars battu, tu penses "c'est trop dur pour moi" et tu viens ici !! Tu es plus intelligent que tu ne crois !

[invitec5691a69]

Merci pour ta réponse ggO...
J'étais en train de faire des maths depuis ce matin... Je ne devais plus penser correctement parce que j'ai même posé le calcul sans le résoudre correctement. Une petite pause s'imposait !

Merci pour tes encouragements !

[gg0]

OK, je comprends mieux. Bon courage pour la suite !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5691a69]

Bonjour,

Je bloque à nouveau sur le calcul de la primitive de la fonction f(x)=cos(x)sin(x).
Je connais déjà la résultat grâce à ma calculatrice (la TI89, une petite merveille...mais elle ne m'aide pas beaucoup dans le cas présent)

Je vois f(x) sous cette forme: f(x)= u' * u^n
D'où, on reconnaît la primitive F(x)= u^(n+1)/(n+1)
F(x) = sin²(x)/2

Malheureusement, la vérification sur calculatrice laisse apparaître un résultat que je ne comprends pas...
Pourriez vous essayer de me faire comprendre ?

Merci d'avance.

[gg0]

Bonjour.

Il y a plusieurs façons d'exprimer des (*) primitives de ta fonction. Tu as pris u=sin(x), rien n'empêchait de prendre u=cos(x) et de voir la forme -u'u, dérivée de -u²/2; ou de remarquer que f(x)=(1/2) sin(2x) d'où une autre expression. Tu p^ourras facilement vérifier que toutes ces expressions sont égales à une constante près.

Cordialement.


(*) "des", car il y en a une infinité. Écrire "le calcul de la primitive ..." t'empêche de comprendre !!

[invitec5691a69]

D'accord.
En fait, une primitive de f(x) peut être à la fois:
F(x)= sin²(x)/2 en considérant u=sin(x) et u'=cos(x) soit f(x)= u'u
F(x)= -cos²(x)/2 en considérant u=cos(x) et u'=-cos(x) soit f(x)= -u'u

...parmi d'autres grâce à k réel, la constante d'intégration.

Est ce exact ?

[gg0]

Attention, tu ne peux pas écrire F(x) les deux fois, ce n'est pas égal.
C'est pourquoi on préfère rajouter une constante et écrire
F(x)= sin²(x)/2+k
F(x)= -cos²(x)/2 + C (là encore, on est obligé de changer la constante)