Preuve polynôme de Taylor

[invite563547f9]

Bonjour,

J'ai trouvé assez aisément la preuve de l'égalité entre une fonction et son polynôme de MacLaurin.

Pour montrer l'égalité avec le polynôme de Taylor, les valeurs en a des dérivées n-ièmes de f(x) étant connue, j'ai simplement posé g(x) = f(x+a). On a alors g(0) = f(a). Puis, on trouve donc le polynôme de MacLaurin de g(x), puis on a f(x) = g(x-a) ce qui nous donne bien le polynôme de Taylor.
Mais un ami m'a dit qu'il lui semblait qu'on était pas obligé de passer par MacLaurin pour montrer Taylor. Y a-t-il donc un autre moyen ?

Et quand je disais aisément, c'est toute proportion gardé : il y a une partie que je n'ai pas su montrer, et il me semble que c'est nécessaire. La démonstration part du principe que la fonction peut être approchée autant que l'on veut par un polynôme. Comment montre-t-on cela ?

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

A priori, une fonction qui n'est pas polynôme n'est pas égale à son polynôme de Maclaurin. Donc tu parles de quelque chose que tu as dans la tête, mais qui n'est pas précisé ici.
Et donc, pour ta question : "Y a-t-il donc un autre moyen ?", comment pourrait-on y répondre ? Sauf par la confirmation qu'on a des démonstrations des formules de Taylor (il y en a plusieurs) qui sont directes, la formule de Maclaurin en devenant un cas particulier (a=0).

Pour ta question "Comment montre-t-on cela ?" il y a un gros problème, car ce n'est pas nécessairement vrai. On connaît des fonctions dont le polynôme de Taylor en a est nul, comment pourrait-il approcher la fonction, qui n'est nulle qu'en a ?

Si tu veux creuser la question, il faudra que tu nous dises quelle est la formule dont tu parles, et quelle est la démonstration dont tu parles.

Cordialement.

[invite563547f9]

Bonjour,

effectivement, je vois que j'ai mal raisonné.

Le polynôme de MacLaurin serait plutôt : soit f(x) une fonction pouvant s'exprimer sous la forme d'un polynôme et dont les valeurs des dérivées n-ième en 0 sont connues, alors ce polynôme vaut . On peut montrer que , où est le coefficient du monôme de n-ième degré, et ainsi montrer l'égalité. Je ne sais pas si cette démonstration est correct et si la condition "f(x) peut s'exprimer sous la forme d'un polynôme" est suffisante.

Merci !

[gg0]

Ah, OK !

C'est un théorème sur les polynômes. On peut d'ailleurs limiter la somme au degré de f. La preuve que tu exposes est classique et correcte.
Dans ton premier message, tu parlais de "fonction", pas de polynôme ou de fonction polynôme.
Il y a alors des preuves de Taylor pour les polynômes qui ne se servent pas d'un passage par Maclaurin, par exemple par l'algèbre linéaire (Les (X-a)^n forment une base de P(X)), mais tout ça ne relève pas du niveau Lycée-collège. Il y a aussi une preuve très simple, utilisant la formule de Taylor avec le reste que l'on veut, le fait que les polynômes sont indéfiniment dérivables et que leur dérivée d'ordre suffisamment grand est nulle.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]