Bonsoir, je bloque depuis hier sur un exercice et ça m'empêche d'avancer voilà:
∀ x ∈ ℝ₊; on pose Fn(x) = ∫(de 0 à n) (1 - u/n)ⁿ u^x du.
On fixe x≥0.
a- Montrer l'existence d'un réel strictement positif U tel que ∀ u ∈ ℝ₊ u ≥ U => e^(-u) ≤ 1/ [u^(x+2)].
b. En déduire que ∀ n ∈ ℕ* on a:
Fn(x) ≤ ∫(de 0 à U) e^(-u).u^x du + 1/U
c. Montrer que (Fn(x))n∈ℕ* est convergente
∀ x ∈ ℝ₊; on pose F(x) = lim(+∞) Fn(x)
d. Démontrer la relation fonctionnelle: ∀ x ∈ ℝ₊ F(x+1) = (x+1).F(x)
En déduire la valeur de F(k) pour k ∈ ℕ.
Voilà, j'ai pu traité la question a) en considérant la fonction g: u -----> lnu/u - 1/(x+2) donc dire que e^(-u) ≤ 1/ [u^(x+2)] revient à dire que g(u) ≤ 0. J'ai donc étudier les variations et les limites aux bornes de g. J'ai trouvé que g admet un maximum sur ℝ₊ ( 1/e - 1/(x+2) ),
j'ai discuté suivant son signe et j'ai montré qu'à chaque fois U existe. Est-ce bon comme raisonnement? Ou il y'a une autre méthode?
b) Mais c'est plutôt ici que je bloque vraiment???? Surtout avec les intégrales ce ne sont pas les même bornes.
A noter qu'on a u<n.
Pour la suite j'ai pas encore cherché mais je le ferai après avoir terminer ceci, je vous ferai part de mes questions en cas de blocage.
Merci d'avance
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