Incongruences dans la suite des nombres de KAPREKAR ?

**invite779f1e36** · 13/02/2017, 12h23

Bien bonjour mes très précieux amis @Futura-Sciences.

Je n'arrive pas à m'expliquer les incongruences suivantes dans la suite des nombres de Kaprekar :

***** A. des 100 mio premiers entiers (de 1 à 100'000'000) aux 1 mia premiers entiers (de 1 à 1'000'000'000), 900'000'000 entiers de plus, il n'y a que 6 (je dis bien SIX) nombres de kaprekar de plus.

***** B. C'est comme si tous les nombres isodigits de 9 sont de Kaprekar.

***** C. C'est comme si tous les exponentiels de 10 sont de Kaprekar, et sont différents de 1 seulement par rapport à leurs prédécesseurs, sauf le 97è (100'000'000) qui diffère de [D= 5'479'453] par rapport au 96è (94'520'547)n donc 5'479'452 nombres entiers CONSÉCUTIFS qui ne sont pas de Kaprekar.

96. Nb 94520547. 8è tour : 89341338 + 05179209 = 94520547. [D= 2682459]
97. Nb 100000000. 8è tour : 100000000 + 00000000 = 100000000. [D= 5479453]

Et entre le 99è (335001666) et le 100è (664998334) nombres de Kaprekar l'écart est même de [D= 329'996'668] donc 329'996'667 nombres entiers consécutifs non Kaprekar.

Les nombres de Kaprekar step <= 1000000000 :
97e = 100000000 & 98e = 243902440 [D= 143902440]
99e = 335001666 & 100e = 664998334 [D= 329996668]
101e = 665188470 & 102e = 886680747 [D= 221492277]
Max D (329996668) / step = 0.33

***** D. Pourquoi le nombre 842157, anagramme du nombre de Kaprekar 142'857, n'est-il pas de Kaprekar ?

Merci.

P.S.:
Overall Execution : 7766861 ms (7766 secs 861 ms).
Il faut donc patienter !

**invite779f1e36** · 13/02/2017, 15h49

Mes excuses, j'avais oublié de mettre le programme :

==========

<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1252" />
<base target="_top">
<title>Nombre de Kaprekar ?</title>
<meta content="30 days" name=Revisit-after>
<meta name=ROBOTS content="INDEX,FOLLOW">
<meta http-equiv=Page-Enter content="RevealTrans(Duration= 3,Transition=23)">
<meta http-equiv=Page-Exit content="RevealTrans(Duration= 3,Transition=23)">
<meta http-equiv=Content-Language content=fr-be>
<meta name=Title content="Logiciel de Kaprekar (nombres et suites)|Mathématique">
<meta name=Created content="jeudi 09 février 2017 - 22:55:33">
<meta name=Modified content="vendredi 10 février 2017 - 00:21:32">
<meta name=description content="Logiciel de génération et vérificationn des nombres de Kaprekar">
<meta name=keywords content="Kaprekar,anagramme,cy cle,diagramme,dattatreya ramachandra kaprekar,algorithmesséquence,d egenerate case,cas taré,itération,structure,patte rn,dégénéré">
<meta name="author" content="Dr. Jean-Baptiste Dadet DIASOLUKA Nzoyifuanga Luyalu (CNOM : 0866) - Ophtalmologiste">
<meta name="author-address" content="diassites@operamail.c om">
<meta name="author-site" content="http://diasmath.blogg.org">
<meta name="author-site2" content="http://www.amessi.org/diasoluka">
<meta name="author-site3" content="https://www.facebook.com/diasoluyalu">
<style>
input {background:#3FB0A5;color:yell ow;text-align:center;font-weight:900}
</style>
</head>

<body>
<div id="res"></div>
<form>
Entrez un numero ou la longueur du numero 
N1=<input id=nm value=142857> N2=<input id=nm2 value=842157> 
<button style='size:300' onclick='fnkaprekar(nm.value)' >LISTER KAPREKARS DE 0 à N1</button>
 <button style='size:300' onclick='fnkaprekar(nm.value,n m2.value)'>LISTER KAPREKARS DE N1 à N2</button>
 <button style='size:300' onclick='fnkaprekar2(nm.value) '>NOMBRE N1 EST-IL DE KAPREKAR ?</button>
 <button style='size:300' onclick='frnd()'>VERIFIER KAPREKAR DU NOMBRE à NB DIGITS</button>
</form>
</body>

<script type="text/javascript">
var x=new Array(),maxD=new Array(0,0,0,0,0,0,0,0,0),fn,sf lag=prev=0,dr=ares=[],c=1,nm=document.getElementByI d('nm'),tmp=ks1=ks10=ks100=ks1 000=ks10000=ks100000=ks1000000 =ks10000000=ks100000000=ks1000 000000=""
nm.focus()
OnLoad=alert("Ce programme ne plante pas sauf dans Google-Chrome pour 1'000'000'000 de nbs de Kaprekar, par insuffisance de mémoire.\nVeuillez patienter pendant son exécution.\n\nCliquez pour continuer")
db=new Date()

function fsdigits(n){
var k,s=0,nb=n.toString()
for(k=0,l=nb.length;k<l;k++)
s-= -nb.charAt(k)
return s
}//fsdigits(nb)

function frnd(){
var n,nb=(Math.ceil(Math.random()* 9)).toString()
for(k=1;k<nm.value;k++) nb+=n=Math.round(Math.random() *9)
fnkaprekar2(nm.value=nb.toStri ng())
}//frnd()

function fnkaprekar(n,p){
if(typeof p == "undefined"){
var kflag=i=0,f=n,len=n.length
tmp+="Les NOMBRES DE KAPREKAR de "+i+" - "+f+" "
tmp+="Le nombre n proposé est : "+n+" | CK = "+fsdigits(n)+" | LEN = "+len+"<hr>"
for(k=0;k<=f;k++){
kflag+=fisnkaprekar(k)
}
if(!kflag)tmp+="Pas de nombres de Kaprekar dans la plage "+i+" à "+f+"<hr>"
}
else {
var kflag=0,i=n,f=p,nlen=n.length, plen=p.length
tmp+="Les NOMBRES DE KAPREKAR de "+i+" à "+f+" "
tmp+="Les nombre n proposés sont : "+n+" | CK = "+fsdigits(n)+" | LEN = "+nlen+" , et "+p+" | CK = "+fsdigits(p)+" | LEN = "+plen+"<hr>"
for(k=i;k<=f;k++){
kflag+=fisnkaprekar(k)
}
if(!kflag)tmp+="Pas de nombres de Kaprekar dans la plage "+i+" à "+f+"<hr>"
}
fend()
}//fnkaprekar(n)

function fnkaprekar2(n){
var kflag,len=n.length
tmp+="Le nombre n proposé "+n+" | CK = "+fsdigits(n)+" | LEN = "+len+"<hr>"
kflag=fisnkaprekar(n)
if(!kflag)tmp+="n'est Pas un nombres de Kaprekar."
else tmp+=n+" est un nombres de Kaprekar"
fend()
}//fnkaprekar2(n)

function fisnkaprekar(n){
var kflag=0,n2=(n*n).toString(),le n=n2.length
for(var k=0;k<(pos=len-1);k++){
n1s=n2.substr(0,pos-k)
n2s=n2.substr(pos-k,len-1)
if((r=-(-n1s-n2s))==n){
sflag++,kflag++
dt=n-prev
tmp+=c +". Nb "+n+". "+(-(-k-1))+"è tour : "+n1s+" + "+n2s+" = "+r+". [D= "+dt+"]"
if(dt==1)ks1+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
else if(dt<=(dv=10)){
ks10+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[0]) maxD[0]=dt;x[0]=(maxD[0]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=100)){
ks100+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[1]) maxD[1]=dt;x[1]=(maxD[1]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=1000)){
ks1000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[2]) maxD[2]=dt;x[2]=(maxD[2]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=10000)){
ks10000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[3]) maxD[3]=dt;x[3]=(maxD[3]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=100000)){
ks100000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[4]) maxD[4]=dt;x[4]=(maxD[4]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=1000000)){
ks1000000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[5]) maxD[5]=dt;x[5]=(maxD[5]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=10000000)){
ks10000000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[6]) maxD[6]=dt;x[6]=(maxD[6]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=100000000)){
ks100000000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[7]) maxD[7]=dt;x[7]=(maxD[7]/dv).toFixed(2)
}
else if(dt<=(dv=1000000000)){
ks1000000000+=c-1+"e = "+prev+" & "+c +"e = "+n+" [D= "+dt+"] "
if(dt>maxD[8]) maxD[8]=dt;x[8]=(maxD[8]/dv).toFixed(2)
}
tmp+=" "
c++,prev=n
}
}
return kflag
}

function fend(){
var ct=0,kcons="<hr>Les nombres de Kaprekar consécutifs :"
if(sflag){
tmp+=kcons+" "+ks1
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 10 : "+ks10+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 100 : "+ks100+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 1000 : "+ks1000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 10000 : "+ks10000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 100000 : "+ks100000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 1000000 : "+ks1000000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 10000000 : "+ks10000000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 100000000 : "+ks100000000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
tmp+="<hr>Les nombres de Kaprekar step <= 1000000000 : "+ks1000000000+"Max D ("+maxD[ct]+") / step = "+x[ct++]
}
res=window.open()
fn=new Date()
dr=fn.getTime()-db.getTime()
tmp+="<hr align=left width=180>Overall Execution Time : "+dr+" ms ("+Math.floor(dr/1000)+" secs "+dr%1000+" ms)."
res.document.write(tmp)
alert(dr+" ms ("+Math.floor(dr/1000)+" secs "+dr%1000+" ms).\nLes résultats dans le dernier onglet")
}
</script>

==========

Bien à vous.

**Médiat** · 13/02/2017, 21h16

Bonsoir,

Tous les nombres de la forme $\text{[math]}$ sont de Kaprekar : $\text{[math]}$ , et comme $\text{[math]}$ CQFD

**invite779f1e36** · 15/02/2017, 12h52

Envoyé par Médiat

Bonsoir,

Tous les nombres de la forme $\text{[math]}$ sont de Kaprekar : $\text{[math]}$ , et comme $\text{[math]}$ CQFD

Bonjour Médiat, et bien merci pour ton intervention,
bien que certaines difficultés persistent.

A. Les nombres suivants de la forme (10^n - 1) ^X
semblent ne pas être de Kaprekar.

1. Le nombre n proposé 99999999 | CK = 72 | LEN = 8
n'est Pas un nombres de Kaprekar.

==========

2. Le nombre n proposé 999999999 | CK = 81 | LEN = 9
n'est Pas un nombres de Kaprekar.

==========

3. Le nombre n proposé 9999999999 | CK = 90 | LEN = 10
n'est Pas un nombres de Kaprekar.

===============

B. Pourtant 5000050000 semble l'être (et ne répond pas au critère ci-dessus) :

Nb 5000050000.
(10è tour : 2500050000 + 2500000000 = 5000050000).

===============

De Plus, j'ai constaté que le premier nombre de Kaprekar après le 1'000'000'000, c'est le
4999950000 (très loin l'un de l'autre)

Nb 4999950000. 10è tour : 2499950000 + 2500000000 = 4999950000. [D= 4999950000]

et le suivant en dessous de 7'000'000'000 est le
5000050000

Nb 5000050000. 10è tour : 2500050000 + 2500000000 = 5000050000. [D= 5000050000]

Merci.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 15/02/2017, 16h31

Bonjour,

Vous comparez les résultats d'une démonstration et d'un calcul, et comme ils divergent vous blâmez la démonstration, pourtant triviale, sans tenir compte des erreurs de calculs, par exemple dues à la précision (ou à la programmation)

Envoyé par diasoluyalu

1. Le nombre n proposé 99999999 | CK = 72 | LEN = 8
n'est Pas un nombres de Kaprekar.

99999999² = 9999999800000001 et on a bien 99999998 + 1 = 99999999, c'est donc bien un Kaprekar

**Médiat** · 15/02/2017, 18h16

Envoyé par diasoluyalu

B. Pourtant 5000050000 semble l'être (et ne répond pas au critère ci-dessus) :

Les nombres de la forme $\text{[math]}$ sont de Kaprekar, je vous laisse la démonstration

**invite779f1e36** · 17/02/2017, 11h37

Envoyé par Médiat

Bonjour,
99999999² = 9999999800000001 et on a bien 99999998 + 1 = 99999999, c'est donc bien un Kaprekar

Grand Bonjour Médiat, quelle très grande joie de te lire, c'est comme si tu m'as tiré d'une somnolence.

Non, ne crois surtout pas que tu as perdu ton temps en en intervenant.

Du coup tu as répondu [très utilement] à la question, et tu as donné la preuve concrète sur les limitations du système informatique (aussi bien les machines avec leurs tailles des registres et les bus ou que sais-je moi!, mais aussi les systèmes d'exploitation [en l'occurrence le MS-WINDOWS utilisé] qui ne savent pas gérer ses limitations ou ne fut-ce que DONNER UNE ALERTE surtout pour nous les terres à terre).

Peut-être aussi que sans le savoir ou le vouloir, mais vous êtes [donc] arrivé par la même occasion à faire ce que l'on appelle :
FAIRE D'UNE PIERRE DEUX COUPS, deux coups très utiles, très instructifs.

Tout en grattant les cheveux comme un singe, j'aurais en fait voulu avoir plus de formules (je préfère ça que de me voir jouer au Mitendo) si c'est possible, mais ce serait peut-être trop demander, donc je m'abstiens, mais au moins je l'ai exprimé, à bon entendeur salut.

Comme quoi, je ne peux que vous remercier de cette intervention et du message du 15/02/2017 - 19h16 qui a suivi, contenant la formule 5e(2n+1) + 5e(n) que j'adopterai dorénavant (thanks to you) chaque fois que j'aurais à gribouiller sur les nombres de Kaprekar.

Comme quoi aussi, moi aussi ...
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

Bonne et agréable journée à toi.

**invite779f1e36** · 03/04/2017, 21h10

Envoyé par Médiat

Vous comparez les résultats d'une démonstration et d'un calcul, et comme ils divergent vous blâmez la démonstration, pourtant triviale, sans tenir compte des erreurs de calculs, par exemple dues à la précision (ou à la programmation)...

Bonjour,

Je viens de lire dans le texte qu'on peut retrouver avec cette chaîne dans google
"Apart from this constant rule which we finally ran into"
(pour ne pas placer un lien)
je viens donc de lire une démonstration qui se solde par un faux résultat :

Du fait que même la démonstration peut égarer si on ne prend garde, par exemple des longs développements par exemple celui sur la page web contenant le texte ci-dessous, que l'on peut atteindre avec google (puisque les liens externes ne sont pas autorisés) :

« Apart from this constant rule which we finally ran into, I'd also encourage anyone working with real-life applications of Mathematics to examine and state the conditions under which any particular problem must agree with »

Qui conduisent à des pièges (paradoxes mathématiques) du genre de ceci :

1*
rac2((1)²) = rac2((-1)²)
donc
1 = -1.

2*
(1 * 0) = (2 * 0)
donc
1 = 2

N'est-il pas possible que nous trouvions (plutot vous les académiciens) des alternatives pour contourner à coup sûr tous ces pièges (de démonstration et de calcul) ?

Merci.

**Paraboloide_Hyperbolique** · 04/04/2017, 12h21

Bonjour,

Envoyé par diasoluyalu

Du coup tu as répondu [très utilement] à la question, et tu as donné la preuve concrète sur les limitations du système informatique (aussi bien les machines avec leurs tailles des registres et les bus ou que sais-je moi!, mais aussi les systèmes d'exploitation [en l'occurrence le MS-WINDOWS utilisé] qui ne savent pas gérer ses limitations ou ne fut-ce que DONNER UNE ALERTE surtout pour nous les terres à terre).

Votre mésaventure est dûe à un fait archi-connu en informatique. La mémoire d'un ordinateur étant finie, celui-ci ne peut représenter qu'une quantité finie de nombres. Pour un ordinateur, il existe donc un nombre (entier ou réel) qui est le plus grand (et un qui est le plus petit). De plus, deux nombres consécutifs a et b, pour un pc, sont séparé d'un intervalle donné. Si le nombre c est plus petit (en valeur absolue) que cet intervalle, on a alors: a + c = a, avec c > 0.

Comparez par exemple, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , même simplement sur votre calculette.

Pour aller plus loin, je vous invite à lire par exemple: http://maths.cnam.fr/IMG/pdf/CS001.pdf

**jacknicklaus** · 04/04/2017, 13h37

Envoyé par Paraboloide_Hyperbolique

Bonjour, Votre mésaventure est dûe à un fait archi-connu en informatique. La mémoire d'un ordinateur étant finie, celui-ci ne peut représenter qu'une quantité finie de nombres

Désolé, ce diagnostic est erroné. Et votre histoire de "nombre le plus grand" et "nombre le plus petit" est une élucubration sans intérêt pratique.

Les erreurs rencontrées par diasoluyalu sont de deux natures

1) Erreurs liées à l'utilisation de types en dehors de leur plage d'utilisation. Dans tout langage typé, comme celui utilisé, ou d'autres comme C et ses descendants, les variables sont prédéclarées et typées (int, unsigned int, float, double, etc...) et en conséquence bornées aux valeurs qu'il est possible de coder dans chaque type. Un unsigned int, codé sur 32 bits, est borné à la plage [0 , 2^32 - 1]. Etc.. Celà n'a aucun rapport avec la "mémoire de l'ordinateur", mais seulement avec la grammaire du langage (qui définit les types) et avec leur représentation binaire (qui les implémente).

D'autres langages, comme les langages de calcul formel (Mathlab, Maxima, ...) utilisent des représentation internes, notamment pour les entiers, plus adaptées aux calculs sur de très grands nombres. Mais ces représentations ont aussi leurs limites , et ont peu de rapport avec la mémoire finie de l'ordinateur qui interprète le code. Heureusement, sinon que dire des problèmes de portabilité !

Le point clé est simplement celui ci : quand on code des calculs à l'aide d'un langage, il faut impérativement veiller à ce que chaque variable utilisée reste dans sa plage d’utilisation, laquelle dépend de son type de donnée. La documentation du langage précise, pour peu qu'on la lise, les domaines de validité de chaque type.

2) erreurs d'allocation mémoire.
l'utilisation d'un type tableau dynamique (cf programme de diasoluyalu) permet de stocker des variables, en quantité limitée par la quantité de mémoire virtuelle que le système d'exploitation mettra à disposition du programme dans sa phase d'exécution. Cette limite dépend essentiellement des ressources physiques de l'ordinateur, de sa charge instantanée, et du système d'exploitation. En pratique, on protèges les phases d'allocation mémoire par des mécanismes d'interception, afin de pas crasher le programme.

Quant au calcul proposé en exemple (10^48 + 1000 - 10^48), il n'a aucun sens, sauf à préciser le langage utilisé et le type affecté à chacun des 3 éléments. Selon les types, le calcul peut être "exact" ou ... non déterminé s'il est en dehors des plages d'utilisation prévues.

**obi76** · 04/04/2017, 17h09

Hello !
j'interviens comme un cheveux sur la soupe, maisj'ai fait un code pour les calculer, et mon code me sort "10".
Et effectivement, 10² = 100, et 10 + 0 = 10. Pourquoi ce nombre n'est pas inclu dans la liste ?

Merci d'avance

**Paraboloide_Hyperbolique** · 04/04/2017, 18h22

Bonsoir,

En effet jacknicklaus, j'aurais dû préciser le type de la représentation utilisée pour coder un nombre. Merci pour ton intervention.

**invite779f1e36** · 12/04/2017, 15h33

Envoyé par obi76

Hello !
j'interviens comme un cheveux sur la soupe, maisj'ai fait un code pour les calculer, et mon code me sort "10".
Et effectivement, 10² = 100, et 10 + 0 = 10. Pourquoi ce nombre n'est pas inclu dans la liste ?

Merci d'avance

Bonjour,

L'exécution du programme dans l'intervention #2 du 13/02/2017 - 15h49

http://forums-futura-sciences.digidi...%23post5824112

liste bien 10 dans liste des nombres de Kaprekar (2è de la liste, le premier étant 9).

Merci.

Incongruences dans la suite des nombres de KAPREKAR ?

Incongruences dans la suite des nombres de KAPREKAR ?

Re : Incongruences dans la suite des nombres de KAPREKAR ?

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