Une petite démonstration divisibilité

[Meiosis]

Bonjour,

Comment cela pourrait-il se démontrer pour un cas général ?

Soient a et b deux entiers naturels distincts.
a et b peuvent être pairs ou impairs.
On pose a*b=c et a+b=d.

On liste la table de multiplication de a (par exemple prenons a=7) et on veut trouver tous les entiers divisibles par a et b (prenons b=6) dans cette table.
Je me suis aperçu que l'écart dans cette liste entre deux entiers divisibles à la fois par a et b (ici par 7 et 6) est tout simplement b.

Par exemple la table de multiplication de 7 :

7
14
21
28
35
42 x
49
56
63
70
77
84 x
91
98
105
112
119
126

Il faut commencer à partir de c, ici à partir de 7*6 = 42.
Ensuite à partir de 42 toutes les 6 lignes on tombe sur un entier divisible par 7 et 6 (le signe x désigne l'entier recherché).
Cette méthode ne marche que si d n'est ni divisible par a et b. Ici a+b=13, 13 n'est ni divisible par 6 ou 7.

Le problème me semble vraiment très basique donc c'est pour ça que je viens sur ce forum. Mais en même temps j'ai quelques doutes.

Merci à vous.
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[jacknicklaus]

on veut trouver tous les entiers divisibles par a et b
[...]
Le problème me semble vraiment très basique

Certes...
Ce sont tous les multiples du plus petit commun multiple de a et b. Si a et b sont premiers entre eux (comme dans ton exemple), ce ppcm est égal au produit des 2 nombres. Donc une solution tous les ab nombres si on les liste un par un. Ou une solution tous les a nombres si on ne liste que les multiples de b. Ou une solution tous les b nombres si on ne liste que les multiples de a.

[gg0]

Bonjour.

Tu repères simplement les multiples par 7 de 6, 12, 18, 24, ... les multiples de 6. Ça marchera aussi pour 5 et 8, 128 et 271ou 231 et 256, pour tous les couples d'entiers qui n'ont que 1 comme diviseur commun (on les appelle "premiers entre eux").
Par contre, ta condition "Cette méthode ne marche que si d n'est ni divisible par a et b" n'est pas très intéressante, car elle ne donne pas les couples de nombres "qui marchent". par exemple 6+8=14 qui n'est pas divisible par 6 et par 8, mais dans la table de 8, après 48=6x8, il y a 72 qui est divisible par 6.

Cordialement.

NB : C'est bien d'essayer de voir des propriétés des nombres, mais on peut aussi apprendre l'arithmétique.

[Meiosis]

Merci pour votre réponse, en effet c'était tout bête.

Souvent je redécouvre des choses simples comme cela ou plus complexes mais sans m'en apercevoir. Et je ne suis pas fan du cas général même si je sais que ce "n'est pas bien"...

[A voir en vidéo sur Futura]