Démonstration par récurrence de la divisibilité d'une expression par 6.

[invitecc05d78f]

Bonjour tout le monde
Je viens de réaliser deux petites démos par récurrence, mais je bloque sur la troisième qui est la suivante :
n(n+1)(n+2) divisible par 6 (le prouver par récurrence) et j'insiste bien sur le fait qu'ici, n+1 et n+2 ce sont pas des rangs par rapport au premier n, c'est à n on ajoute 1 puis dans le deuxième facteur 2
je me retrouve avec une expression
(n+1)((n+1)+1))((n+1)+2) bloquée, je sais pas quoi faire avec ça.
Aidez moi s'il vous plaît ! Pour me débloquer des petites pistes...
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[invite427a7819]

Bonjour,

Es-tu sûre que la récurrence soit adaptée ? Pour ma part, je pense qu'une démonstration directe, et peut-être plus simple, existe.

Il est bon de remarquer qu'il suffit, pour être divisible par 6, d'être divisible par 2 et par 3.

[invitecc05d78f]

Ah oui ? Tu peux me donner une piste ?

[invite427a7819]

Je l'ai fait : pour montrer que ce nombre, n(n+1)(n+2), est divisible par 6, il te suffit de montrer qu'il est divisible par 2 et par 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecc05d78f]

ça va me donner un truc du genre
n(n+1)(n+2) = 2k (k entier)
?

[invite427a7819]

Oui, du moins dans un premier temps. Donc, si tu arrives à mettre un 2 en facteur dans ton produit de trois termes consécutifs, c'est gagné.

Comment peux-tu écrire ton n pour faire apparaître ce 2 que tu aimerais voir ?

[gg0]

Bonjour.

Pour la récurrence, tu peux examiner (n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2). En factorisant, tu verras que c'est un multiple de 3, puis il ne te restera plus qu'à faire la même chose : démontrer par récurrence que n(n+) est un multiple de 2.

Exercice assez peu formateur quand on sait déjà que sur deux entiers successifs, il y a un pair, et sur 3, un multiple de 3.

Cordialement.

[invitecc05d78f]

Je développe
n(n+1)(n+2) = 2k (k entier)

n²+n(n+2) = 2k
n^3 + 2n² + n² + 2n = 2k
n^3 + 3n² + 2n = 2k
n^3 + 3n² = 2k - 2n
n^3 + 3n² = 2(k-n)

a=bk
b divise a, ici 2 divise n^3 + 3n²
et 2 divise 6
donc n²+n(n+2) est divisible par 6

[invitecc05d78f]

Merci pour ta réponse gg0. Je prends ça en note je vais tout tester

[gg0]

Tu fais la deuxième étape de la proposition d'Elwyr ? car
n(n+1)(n+2) = 2k (k entier)
reste à prouver.
Je suis jusqu'à :
a=bk
C'est quoi ce a qui apparaît ici ?
b divise a,
oui, et alors ?
ici 2 divise n^3 + 3n²
et 2 divise 6
Bof !!
donc n²+n(n+2) est divisible par 6 ????
C'est sans doute (n²+n)(n+2) que tu voulais écrire. mais c'est l'hypothèse dont tu es partie ! Et ce n'est pas une conséquence de ce qui précède, le "donc" est une absurdité.
En effet, imaginons que n^3+3n² soit égal, pour un n très grand à 200000000000000002
ici 2 divise 200000000000000002
et 2 divise 6
donc 200000000000000002 est divisible par 6
Tu y crois ?? car c'est faux ! 200000000000000002 n'est pas multiple de 3 (règle de divisibilité par 3), donc n'est pas multiple de 6.

Corialement.

[invitecc05d78f]

Je viens de la refaire avec un raisonnement par récurrence.

La propriété à démontrer est :
Pour tout n : n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.

On suppose la propriété vraie pour une certaine valeur de n : on suppose donc que n(n+1)(2n+1) est vraie pour n.

Et on doit démontrer qu'alors la propriété est vraie pour n+1, c'est à dire que :
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est vraie.
On doit démontrer qu'alors (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) c'est à dire (n+1)(n+2)(2n+3) est divisible par 6.

n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n² + n

(n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n² + 13n + 6 = (2n^3 +3n² + n) + 6n² + 12n + 6

après je mets 6 en facteur dans l'expression et j'ai démontré qu'au rang n+1 la propriété est vraie, donc.
ça c'est bon ou pas?
(ouais merci de m'avoir fait comprendre que ce que j'ai noté avant est absurde)

[gg0]

Pourquoi 2n+1 ? Dans n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n² + n ?

L'énoncé n'est pas celui de ton premier message ? Car alors c'est effectivement la bonne méthode si la question était : n(n+1)(n+2) divisible par 6 (le prouver par récurrence).

[invitecc05d78f]

ouais j'ai répondu effectivement à n(n+1)(n+2).
Parce que je sais pas comment faire avec n(n+1)(2n+1)....

EDIT : en gros l'énoncé, c'est
n(n+1)(2n+1) divisible par 6 (par récurrence)

et n+1 c'est n auquel on ajoute 1
et 2n+1 c'est 2n auquel on ajoute 1

[invite427a7819]

L'astuce de gg0 marche toujours, et est plus directe que dans l'autre cas que tu nous as présenté.

[gg0]

Je ne comprends pas !

Tu ne sais pas faire un exercice, alors tu demandes qu'on t'aide à faire un autre qui n'est pas celui que tu dois faire ???

[invitecc05d78f]

je suis embrouillée en ce qui concerne l'énoncé, enfin bref
j'ai pas mal d'éléments, ça va aller.
Merci à vous.