Pourquoi le produit scalaire ?

[Chmiman]

Bonjour, la formule du produit scalaire , avec le produit des normes fois le cosinus , il faut se dire que l'on a inventé ça ou que y'a un sens à ce calcul ? Au lycée on nous donne cette définition mais on ne nous dis pas pourquoi c'est égal au produit des normes fois le cosinus ! Appliquer le produit scalaire est aisé , mais comprendre ce qu'il signifie permet de comprendre pourquoi on l'utilise en physique , donc ma question n'est pas juste métaphysique mais dans le but de comprendre comment on applique cela aux forces par exemple .


Merci de vos réponses si il y en a une !
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[Dynamix]

Salut

Pour bien comprendre le sens du produit scalaire , il faut l' écrire sous la forme :
U.(V.cosθ)
V.cosθ est la projection de V sur U , ou la composante de V colinéaire à U
En physique l' exemple le plus connu est le travail F.L , produit d' un déplacement par la composante de la force colinéaire à ce déplacement .
La composante normale au déplacement (telle la force "poids" lors d' un déplacement horizontal) ne travaille pas .

On peut aussi écrire :
V.(U.cosθ)
Le travail peut être vu comme le produit de la force par la composante du déplacement colinéaire à cette force , ça revient au même .

[jacknicklaus]

Le produit scalaire est un des très nombreux "produits" utilisés en mathématiques, et un des plus utilisés en physique. les cas d'usage sont innombrables. Un seul exemple : le travail d'une force.
Si tu veux savoir si une force produit un travail, le calcul clé est le produit scalaire de la force par le déplacement. Exemple le déplacement d'un chariot sur un sol horizontal ne produit aucun travail : produit scalaire (force de pesanteur).(déplacement) = 0 tout le temps, car orthogonaux l'un à l'autre.
Mais si le chariot descend un plan incliné à 45°, c'est ce même produit scalaire qui va t'amener le facteur cos(45) = racine(1/2) qui te permettra de calculer la valeur du travail fourni en fonction des forces et du déplacement.

EDIT : oups, grillé par Dynamix...

[Amanuensis]

Le produit scalaire a un rapport étroit avec la norme, la "taille" d'un vecteur.

Si on prend les réels, la norme d'un réel peut s'écrire , le produit est alors celui des réels, et est bilinéaire symétrique, i.e., x.y= y.x, et on peut "développer" les produits de sommes.

Il paraît alors intéressant de chercher si on peut définir la norme d'un vecteur (comme la force ou la vitesse) comme , où le produit est bilinéaire symétrique (il va être ce qu'on appelle le produit scalaire).

Pour obtenir le produit scalaire entre deux vecteurs quelconques à partir de la notion de norme, on va appliquer la bilinéarité et la symétrie pour calculer la norme de leur somme:



d'où



ce qui peut être pris pour la définition du produit à partir de la notion plus naturelle de taille de vecteur.

Ainsi, le premier usage du produit scalaire est la "taille" des vecteurs, leur norme. Un autre usage important est la notion d'orthogonalité: on dira que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

En physique l'orthogonalité va avoir des tas d'applications. Par exemple, si la vitesse v d'une trajectoire est de norme constante (comme dans un mouvement circulaire uniforme), v.v est constant, et la dérivation de la norme va donner (par linéarité) v.(dv/dt) + (dv/dt).v = 0, ce qu'on peut décrire en disant que la vitesse et l'accélération dont orthogonales, et donc que la vitesse et la force sont orthogonales.

Comme l'énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse (E = m/2 v.v), norme constante de la vitesse signifie énergie cinétique constante, ce qu'on traduit par travail nul de la force. Ce qui amène à une expression de la puissance (le travail par unité de temps) comme F.v, nul quand force et vitesse sont orthogonaux.

Par ailleurs, la formule en cos theta se montre aisément en partant des coordonnées et de la linéarité, en prenant comme vecteurs de base orthonormés (i.e., i.i=j.j=1 et i.j=0). Le produit scalaire entre le vecteur et un vecteur se calcule alors aisément en appliquant la bilinéarité.

Etc.

En résumé, le produit scalaire peut être vu comme une conséquence naturelle et utile de la notion de "taille" d'un vecteur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Chmiman]

Plusieurs interrogations :

Si j'ai un charriot sur un sol horizontal et que je le pousse , ma force va travailler non ? En tout cas le charriot va bouger !

Pour tout ce que vous me dites , je comprends bien , mais si on prend la définition du produit scalaire , quelqu'un est il capable d'expliquer pourquoi cette expression et pas une autre , personnellement , on m'aurait dit que le produit scalaire avait une autre expression je l'aurais admise , donc mis à part les démonstrations que vous m'avez faites , le point de ma question était la base du pourquoi est ce que c'est cette formule ?

Au passage , et là quelqu'un doit avoir la reponse , comment démontrer que u .(v+w) vaut le développement du terme ? Car j'aimerais bien démontrer la propriété avec la définition et les cosinus !

[Dynamix]

En tout cas le charriot va bouger !

On ne peut pas conclure en ne connaissant que les forces qui s" appliquent au chariot .
La deuxième loi de Newton met en relation force et accélération , mais ne dit rien sur le déplacement .

Si j'ai un charriot sur un sol horizontal et que je le pousse , ma force va travailler non ?

Si le chariot se déplace , la composante de ta force colinéaire au déplacement va travailler .
Par contre la force "poids" ne travaille pas .

[Chmiman]

"Pour tout ce que vous me dites , je comprends bien , mais si on prend la définition du produit scalaire , quelqu'un est il capable d'expliquer pourquoi cette expression et pas une autre , personnellement , on m'aurait dit que le produit scalaire avait une autre expression je l'aurais admise , donc mis à part les démonstrations que vous m'avez faites , le point de ma question était la base du pourquoi est ce que c'est cette formule"

[Chadocan]

je suis curieux de savoir la définition que tu donnes au produit scalaire :

"[...] mais si on prend la définition du produit scalaire [...]"

Tu demande de prouver que le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des normes avec le cosinus de l'angle. Dans un espace euclidien, on pourrait très bien dire que c'est une définition. Plus besoin de preuve alors...(définition de définition ? ).

Peut-être veux tu en fait savoir quel est le lien entre produit scalaire qui est un outil mathématique et la physique ? Peut-être veux tu savoir la raison du choix du produit scalaire (et donc de sa définition) pour calculer des choses en physique ?

A ce genre de question y'a deux réponses:
- des fois les mathématiciens inventent des trucs à priori inutiles en physique...et trois siècles plus tard y'a un physicien qui débarque et qui dit "eh oh, mais attends, c'est cool ce bidule !"
- des fois y'a un physicien qui est face à un problème insoluble et il va voir son pote Roger (ou pas) et revient avec un super outil qui résout son problème...

Le fait qu'on représente une force par un vecteur viens juste du "constat" qu'une force est directionnelle, et le fait que le travail d'une force soit un produit scalaire viens de la définition du travail d'une force et du constat qu'une force ne travaille que s'il y'a un mouvement et c'est seulement "la partie de la force qui va dans le sens du mouvement" qui contribue au travail. D'où le lien avec le produit scalaire :
Le produit scalaire est très naturel, c'est le projeté orthogonal d'un vecteur sur un autre (et inversement). Maintenant trace deux segments (qui se joignent en un point, pour simplifier), trace le projeté d'un segment sur l'autre, tu as un beau triangle rectangle, calcul la longueur du sommet commun jusqu'au projeté orthogonal. Magie, voilà le cosinus ! (D'ailleurs j'ai presque envie de dire que c'est une définition du cosinus).

Le produit scalaire à également une définition algébrique, qui la somme des produits des composantes des deux vecteurs (dans ce cas là, on se rend compte facilement qu'il est symétrique). On peut montrer qu'on retrouve le cosinus. Amanuensis t'as fait une définition complète du produit scalaire en considérant l'aspect "taille" et orthogonalité de vecteurs.

Je ne pense pas qu'il y'ait plus à comprendre que ça.

pour démontrer la distributivité du PC pour l'addition , c'est assez pénible en partant de l'expression avec le cosinus, ça se fait il faut tout décomposer et utiliser les formules trigo. Ou passer en complexe peut-être.
Avec sa définition algébrique, la distributivité fait partie de sa définition.

[Chmiman]

Merciii ! C'est exactement de que je voulais entendre au final , vous me rassurez !

Bon il reste des choses éternellement indémontrables , comme la somme de vecteurs , c'est cela n'est valable que parceque l'on a dit ( Relation de Chasles) que fallait mettre les vecteurs bout à bout , et c'est ce qui est difficile à cerner quand on dit habituellement qu'un vecteur est où on veut ! Mais enfin la somme vectorielle faut l'accepter !

Pour ce qui est de la démo de la distributivité , je l'ai trouvée et c'est pas facile , mais je l'ai trouvée et elle aboutit !

En tout cas vous avez bien compris que mon problème était de lier des formules à ce que décris la réalité , comme la physique mécanique avec les forces , ce qui est très abstrait et où il faut admettre qu'une force n'est définie que par ses effets .