Exo compliqué de proba

[inviteab4cc462]

Salut , pour les vacances j'ai un exo super compliqué sur les probabilités mais je coince

Voici l'exo
Une urne contient des boules rouges et des boules noires. Sur les n boules , 5 sont rouges
Un joueur tire au hasard successivement et avec remise deux boules de l'urne ..
On note À l'événement " les 2 boules tirées sont de couleurs différentes"
à) pour quelle valeur de n la probabilité de l'événement À est-elle maximale ?
b) même question en supposant cette fois ci que le tirage est sans remise .
Voici ce que j'ai fais :
J'ai calculé la probabilité de tirer une boules rouge qui est 5/n , ensuite j'ai calculé la probabilité de tirer une boules noire qui est (n-5)/n
Ensuite j'ai fais un arbre pour mieux comprendre et j'ai obtenu 4 issues qui sont NN , NR, RN, RR
R=rouge et N=noire
Ensuite j'ai calculé les probabilités de l'arbre
-NN= (n-5)/n X(n-5)/n. C'est donc =( n(au carrée) -10n-25)/n(au carrée)
-NR= (n-5)/n X 5/n c'est donc =( 5n-25)/n(au carrée)
-RN = 5/n X (n-5)/n c'est donc = (5n-25)/n(au carrée)
-RR = 5/n X 5/n c'est donc = 25/n(au carrée)
Ensuite j'ai calculé p(A)
P(A) = p(NR)+p(RN). Donc (5n-25)/n(au carré) + (5n-25)/n(au carré)
C'est donc égale à 10n-50/n(au carré ) , enfin la je suis pas sur
Ducoup j'aurais utilisé une formule de dérivation car ça ressemble à une fonction
J'aurais utilisé celle ci (u/v)' =u'v-uv'/v(au carrée)
Mais même en essayant de faire l'étude de signe et de variation j'obtiens deux. chiffres 5 , ce qui n'est pas possible et 0 ce qui me semble bizarre
Pouvez vous m'aider svp ?
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[invite51d17075]

On note À l'événement " les 2 boules tirées sont de couleurs différentes"
à) pour quelle valeur de n la probabilité de l'événement À est-elle maximale ?
........
J'ai calculé la probabilité de tirer une boules rouge qui est 5/n , ensuite j'ai calculé la probabilité de tirer une boules noire qui est (n-5)/n
Ensuite......

Ensuite tu te compliques la vie
tu deduis de cela P(A)=5(n-5)/n²...... fois 2 ( car tu peux tirer la rouge avant la noire ou l'inverse )
te reste à voir quand P(A) est maximale, c-a-d étudier la fonction

[gg0]

Ce sujet est un doublon de http://forums.futura-sciences.com/ma...babilites.html.
Pourquoi ne pas avoir continué sur le même sujet ? les doublons sont interdits.

Tu t'est sans doute trompé dans la dérivée, le calcul ne pose aucun problème.

[inviteab4cc462]

Si je comprends bien p(À)= 5(n-5)/n(au carrée) +5(n-5)/n(au carrée) X 2
As-tu simplifiée l'expression ?
Pour étudier la fonction faut -il dériver ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab4cc462]

Et bien j'ai réessayé plusieurs fois la calcul et j'obtiens toujours les même résultats , c'est aussi car je suis pas habitué à dériver cette expression..

[invite51d17075]

Si je comprends bien p(À)= 5(n-5)/n(au carrée) +5(n-5)/n(au carrée) X 2
As-tu simplifiée l'expression ?
Pour étudier la fonction faut -il dériver ?

tu m'a mal lu !
tu additionnes ET tu multiplie par 2 !
et oui il te faut dériver une fonction de la forme f(x)=u(x)/v(x)

[gg0]

Lilliputienne,

Ansset a réagi à ta rédaction peu précise (*), alors que ton résultat est correct :
P(A) = ... (10n-50)/n²

Donne ton calcul de dérivée, on ne peut pas t'aider à le corriger sans l'avoir.

(*) tu expliques un calcul sans dire lequel, j'ai dû trafiquer ce que tu écris pour avoir le résultat perdu au milieu d'une phrase en français ! Tu n'as jamais lu des mathématiques ? Dans ton livre, ou au tableau ???

[inviteab4cc462]

Merci je ne suis pas très doué en maths , c'est pas la peine d'être désagréable avec moi , je suis ici pour qu'on m'aide à comprendre mes erreurs et pour éviter de les refaire !

Donc mon calcul de dérivée est
10n X n(au carrée) -10n -50 X 2n /(n(au carré)au carrée)
Et donc le résultat est 10n(puissance 3) -20 n(au carrée) +100n/(n(au carré)au carré)
Ensuite en faisant le tableau de signe et de variation j'ai deux nombres 5 et 0 .

[invite51d17075]

edit : me suis trompé de personne, j'ai cru que gg0 s'adressait à moi.
etnon son résultat n'était pas correct un + ET une multiplication.
le résultat n'a jamais été formulé.

sinon il y a tj des erreurs de calculs pour la fin

[gg0]

Lilliputienne,

difficile de lire ton calcul, tu n'écris pas les parenthèses nécessaires. Et tu ne finis pas le calcul de dérivées, qui, une fois écrit correctement donne bien ce qui se passe, pas ce que tu dis
Si n est un réel, la dérivée de f(n)=(10n-50)/n² est facile à calculer si on applique _strictement les règles. Ce que tu ne fais pas ! tu écris (je rajoute les parenthèses que tu as eu l'indécence de ne pas écrire, alors que je t'en ai déjà parlé) :
[10n X n(au carrée) -(10n -50) X 2n ]/(n(au carré)au carrée)
la dérivée de 10n-50 n'est pas 10 n

Tu fais vraiment n'importe quoi !
" je ne suis pas très doué en maths " ?? Tu n'en sais rien, si tu passes ton temps à "calculer" en n'appliquant pas les règles, tu ne peux pas savoir, tu n'essaies pas. Secoue-toi, force-toi à travailler sérieusement, tu gagneras vite du temps et des notes bien meilleures.
Tu as su faire seul le plus difficile, poser le problème de probabilité, puis tu te casses la figure sur du "petit calcul", règles de multiplication des fonctions, dérivée de 10n-50. Tu gaspilles ton intelligence !

Cordialement.

[inviteab4cc462]

Bonjour,
J'ai réessayé l'exercice voici ce que j'ai fais !

Tout d'abord j'ai additioné puis multiplié par 2 comme la dit ansset
Donc (5n-25)/n(au carrée) + (5n-25)/n( au carré) = (10n-50)/n( au carré)
Ensuite j'ai multiplié par 2:
(10n-50)/n(au carré) X 2 = (20 n -100)/(2n( au carrée)
Ensuite j'ai utilisé la dérivation avec la formule suivante : (u/V)'=U'V-UV'/ V( au carrée )
U(X)=20n-100
V(X)=2n(au carrée)
U'(X)=4n

(U/V)'=( 20 X n(au carrée) )- (( 20 n -100) X 4 n) /(2n( au carrée)
(U/V)'= (40n(au carré)-80n(au carré))-400n/ (2n( au carré)
(U/V)'=( -40n(au carrée) - 400n)/(2n(au carrée)

J'ai reconnu un polynôme du second degré et ducoup pour étudier le signe et la variation j'ai utilisé delta :
La formule de delta est b( au carrée) - 4 X A X c
À=(-40)
B=-400
C=0

Donc : delta = ((-400)(au carré) -4x (-40) X 0 = 160000
Delta est positif donc il existe 2 racines
x1 =-b- racine carrée de delta/ 2xA
X2 = -b+ racine carré de delta/2xA

Donc les résultats sont
x1=400- racine carré de 160000/ 2 X (-40) =0
X2 = 400+ racine carré de 160000/2x(-40) = -10

Ensuite j'ai fais le tableau de signe du polynôme , et j'ai appliqué la règle , le signe À sauf entre les racines , À=(-40)
Donc la courbe est négative de moins l'infinie à (-10) ensuite elle est positive de (-10) à 0 puis elle est négative de 0 à plus l'infinie
Puis j'ai inséré dans le tableau d'étude le signe de (2n( au carrée) , mais j'avoue que c'est un peu inutile car tous le monde le sait la fonction carré est tjrs positive .

Ensuite j'ai fais l'étude des variation et donc la courbe est décroissante de moins l'infinie à ((-10) et croissante de (-10) à O et de nouveau décroissante de 0 à plus l'infinie .

Puis j'ai calculé les images du tableau , je ne detaillerais pas les calculs car tous le monde la sait il faut juste remplacer les n par les racines , donc :
Pour n=o on obtient 0
Pour n =(-10) on obtient O

Mais je suis encore bloqué car n ne peux pas avoir pour valeur 0 ou (-10) .

[gg0]

Encore une erreur de calcul !!
( 20 X n(au carrée) )- (( 20 n -100) X 4 n) ne donne pas (40n(au carré)-80n(au carré))-400n

Bon, tu tiens à calculer faux ("Ensuite j'ai multiplié par 2" tu ne sais pas pourquoi, mais tu le fais !!), tu ne suis pas mes conseils, tant pis pour toi, reste dans ton incompétence...

[invite51d17075]

Tout d'abord j'ai additioné puis multiplié par 2 comme la dit ansset
.

NON, je me suis alors mal exprimé, j'ai cité ce que tu avais fait en disant que cela n'a pas de sens.
il ne faut QUE multiplier par 2 ( voir mon premier post ) car tu peux tirer une noire puis une rouge OU une rouge puis une noire ( les deux cas , comme c'est avec remise, ont la même proba.)
donc le résultat , qui a été répété par gg0 vaut bien
(10n-50)/n²
( pour faire les carrés tu peux utiliser la touche ² en haut à gauche du clavier )
ceci dit cela ne change pas le(s) point(s) ou la dérivée s'annule
pourtant tu connais la formule de la dérivée de u(x)/v(x) mais tu fais des erreurs

par exemple tu écris :
v(x)=2n, alors que v(x)=n²,
je n'ai même pas lu la suite....

récapitulons :
u(x)=10n-50
v(x)=n²
u'(x)=10
v'(x)=2n.
refais un calcul propre......
à toi

[inviteab4cc462]

Comment voulez vous que je suive vos conseil si je ne comprends rien à ce que vous me dite , je vous ai déjà dit que j'essayais encore et encore ça fait 1 semaine que je suis dessus et je bloque je passe mes journées à essayer mais en vain à chaque fois , j'ai pas votre niveau j'apprends , et il faut apprendre de ses erreurs donc même si je fais quelque chose de faux ça m'entraîne à utiliser des formules ou autre !
Puis d'ailleurs je suis ici pour qu'on m'aide à comprendre mes erreurs mais appart me faire des reproches vous m'aider pas !!

Ensuite j'ai vais déjà derivé ( 10n-50)/n(au carrée)
Et voici ce que j'ai obtenu
U(X)=10n-50
V(X)=n(au carré)
U'(X)=10
V'(X)=2n
(U/v)'= (10n X n(au carrée) - (10n-50 x2n)/ n au carrée
= ( 10n( au carrée) -( 20n( au carrée)+100n)/ n au carrée
=( -10n(au carrée) + 100n / n au carrée
Est-ce cela ?

[invite51d17075]

encore beaucoup de manque de parenthèses , un 10nXn(au carrée) avec un n de trop qui disparaît à la ligne suivante,.....
et le dénominateur faux puisque que c'est sensé être v²(x) avec v(x)=n².
enfin , pour mettre fin à ce calvaire ( de tous ) la réponse est
(-10n²+100n)/n^4

[inviteab4cc462]

Oui c'est exact j'avais pas fait attention à ce que j'avais écrit sur le forum mais sur ma feuille c'est ça ! Merci
J'ai encore une dernière question pour la question b) il faut faire la même chose mais avec la probabilité d'une boule rouge 5/n
Et d'une boule noire (n-5)/n , je ne vois pas ce que veux dire sans tirage ??

[inviteab4cc462]

Merci encore j'ai vu mon erreur
Et pour le b) je fais comment ?

[invite51d17075]

pour la b) , ce n'est pas sans "tirage" mais sans "remise".
c-a-d qu'une fois que tu as tiré la première boule , on ne la remet pas dans le sac.
donc lors du tirage de la seconde boule , il y a une boule de moins qui a la couleur de celle tirée au début.
je te conseille de procéder presque comme pour la première question mais regardant les deux cas à savoir
la probabilité de tirer d'abord une rouge puis une noire
la probabilité de tirer d'abord une noire puis une rouge.
c'est à peine plus difficile que la première question.

ps : quel résultat obtiens tu donc pour la première question ???

[inviteab4cc462]

merci de votre aide !
La probabilité de tirer d'abord une rouge puis une noir est 5/n. X (n-5)/n = (5n-25)/n(au carrée)
La probabilité de tirer d'abord une noire oui une rouge est (n-5)/n. X 5/n = (5n-25)/n(au carrée)
C'est cela ?
Pour la première question j'ai trouvé n=10.

[invite51d17075]

c'est bon pour la première question mais pas pour la deuxième. ( que tu traite en fait exactement comme la première )
tu ne tiens pas compte qu'il ny a PAS de remise de la boule.
par exemple si je tire une boule rouge au début , ensuite pour le tirage de la boule noire j'ai une boule rouge en moins dans le sac ( qui d'ailleurs ne contient plus n boule )

[inviteab4cc462]

Je vois pas comment je pourrais calculer la probabilité alors

[invite51d17075]

tu pousses un peu sans essayer de réfléchir.
je fais le début ( mais ensuite j'arrête )
prenons le cas ou on tire une boule rouge PUIS une boule noire
le sac contient n boules dont 5 rouges et n-5 boules noires
la proba de tirer au début une boule rouge reste bien 5/n

ensuite que reste-t-il dans le sac : tj n-5 boules noires ( on en a pas enlevé ) mais sur un total de n-1 boules.......
donc quel est la proba de tirer cette seconde boule noire ?
et par conséquence la proba de tirer d'abord une rouge puis une noire ( sans remise de la rouge ) ?

[invite156cfd77]

pour la première question, pourquoi dériver (10n-50)/n² en utilisant cette formule de dérivation ?

P(n) = (10n-50)/n² = 10/n-50/n²
P'(n) = (10/n)' - (50/n²)' = 10(1/n)' -50(1/n²)' = 10[(n^-1)' -5(n^-2)']

=> P'(n) = 0<=> (n^-1)' =5(n^-2)'

Je passe le calcul de dérivé que je vous laisse refaire, mais on trouve bien n=10 et c'est plus simple.


Pour la deuxième question, ansset t'as donné les pistes, c'est exactement comme la première question, sauf que le nombre de boule restant après avoir tiré une boule change. Ensuite le calcul de la dérivée pourra être fait comme au dessus, il est un peu plus compliqué maisreste relativement facile.