Arithmetique
Bonjour , j'auraos besoin d'aide pour comprendre la demonstration Theoreme de " Wilson " je crois : (p-1)! Congru à -1 modulo p
Dans la demo , ils me disent .... 1*2*3*...(p-2) , on regroupe chaque terme avec son inverse modulo p .
La question est : Comment savent-ils que chaque terme compris entre 1 et p-2 admet un inverse compris dans ce meme intervalle modulo p ?
Merci
Bonjour,
N'oublie pas que tu travailles modulo p, donc dire qu'un terme est compris entre 1 et p-2 n'a pas vraiment de sens. Ce qu'il faut remarquer, c'est que tout entieradmet un inverse modulo p (ce qui est une conséquence du théorème de Bezout), et que
If your method does not solve the problem, change the problem.
Oui je vois... Mais si nous prenons le th. De bezout
au + bv = 1
Avec a = k ( comme vous l'avez defini)
b = p
V = un entier relatif
Comment savons nous que u = i
Avec i inferieur ou egale a 1 et superoeur ou egale a p-1
Puisque vous m'avez bien dit que tout entier ... Admet un inverse modulo p ... Pas que cet inverse = u = i
Euh... I inferieur ou egale a p-2 et superieur ou egale a 1
cela n'est vrai que si p premier , non ?Envoyé par Pedant
Cdt
Oui , desolé de ne pas l'avoir precisé
Donc Z/Zp est un corps, ce qui justifie que
tout entier
Je m'excuse sincèrement x) mais ... Ce que jen comprends, de vos messages , c'est que k admet un inverse modulo p car k est premier avec p... Mais comment pouvons nous savoir que k admet un inverse i modulo p tel que i < p ?
Par exemple 2 admet pour inverse 13 modulo 5 tel que
2*13 + (5* -5) = 1
Or dans cette exemple , 13 > 5 ...
Apres, je ne dis pas que 13 est le seul inverse de 2 modulo 5 ... Il y a 3 par exemple ... Je dis plutot que cela montre qu'un inverse i modulo p n'est pas forcement inferieur à p . Donc , comment peuvent ils affirmer cela dans la demo ? ( je me trompe peut etre a propos des inverses ...)
ici 13=3+10.
tu fais effectivement une confusion sur la notion d'inverse, il me semble.
de fait, dans un anneau Z/Zp , tout k<=p est inversible s'il est premier avec p.
( son inversible a est aussi <= p-1 , inutile d'y rajouter tous les a+np )
si p premier , alors tout k est inversible, et effectivement p-1 est le seul qui soit son propre inversible.
il existe plusieurs démos sur internet.
Merci pour votre reponse
Pédant,
"Par exemple 2 admet pour inverse 13 modulo 5". Exact, mais comme on est modulo 5, 8 et 3 sont aussi des inverses.
Modulo p, parmi les inverses, il y en a un qui est compris entre 1 et p-1.
Cordialement.
Et donc, D'apres ce que vous venez de dire, 13 et 8 sont tout les deux congru a 3 modulo 5
Et de maniere général, cela me permet de dire : tout les entier k compris entre 1 et p-1 admettent tous un inverse z modulo p (car pgcd de k et p = 1 ) avec z etant egale à r modulo p tel que
z = qp + r
Avec r compris entre 1 et p-1
Ce n'est peut etre pas tres rigoureux / mathematique / cohérent ce que j'ai ecris , mais je pense avoir compris
Encore Merci !
Il te suffit de le prouver, avec la formule de Bézout par exemple.
"D'apres ce que vous venez de dire, 13 et 8 sont tout les deux congru a 3 modulo 5" Heu ... ce n'est pas seulement parce qu'on le dit. Tu devrais pouvoir facilement le prouver
Cordialement.
