trouver tous les entiers ayant des diviseurs ....

[midorima]

Bonjour tous le monde
j'ai ici un exercice dans lequel je ne sais pas ou m'arréter
voici l'énoncé :
trouver tous les entiers naturels n sachant que le nombre de leurs diviseurs positifs est 8 :
d₁<d₂<d₃<d₄<d₅<d₆<d₇<d₈
sachant que :
n=d₈
d₁=1
2d₂d₅=d₃d₄ +3

alors moi
j'ai essaye d'une façon vraiment pas pratique et qui ne me donnent pas tous les n a moindre que j'essaye pour tous les entiers jusqu'a l'infini
bref ce que j'ai fais :
comme 2d₂d₅=d₃d₄+3
on deduit que d₃d₄ est impair
ce qui fais que d₃ et d₄ sont impairs
la ce que j'ai fais, c'est que j'ai commence a ecrire le resultat dela multiplication des nombres impairs les plus petits
3*5, 3*7, 3*9...
5*7, 5*9, 5*11, 5*13 ....
7*9, 7*11, 7*13 ...
9*11, 9*13, 9*15...
ce qui n'est vraiment pas pratique
et puis j'ai additionner au produit 3 puis diviser par 2 et la les resultats je les ai ecris
sous forme de produit de 2 entiers
et j'ai compare le plus grand des 2 entiers (qui est d₅) au plus grand des 2 autres entiers impairs (d₄)
pour ne prendre que ceux qui ont d₄<d₅
la liste s'est vraiment racourcis
donc j'ai compter le ppcm des 5 premiers diviseurs et la j'ai pu trouver quelques uns
n=(693, 2210, 1035)
mais le probleme c'est que je n'ai pas calculer tous les produits des nombres impairs parcequ'il y a une infini de nombres impairs donc
je ne sais pas si il y a d'autre entiers n
s'il vous plait aidez moi
je ne pnese pas que ce soi une methode qu'on peux utiliser
merci d'avance
-----

[Resartus]

Bonjour,
Si on sait qu'il y a 8 diviseurs, cela implique :
1) soit qu'il y a trois nombres premiers diviseurs distincts a, b, c contenus une seule fois dans n=abc (le nombre total de diviseurs est bien alors 2^3)
Si a<b<c, on sait que d1=1 d2=a, d3=b, d8=abc, d7=bc, d6=ac,
d4 et d5 valent c et ab (on ne sait pas dans quel ordre).
On peut réintroduire ceci dans l'équation fournie, et voir ce que cela donne

2) soit qu'il y a deux nombres premiers diviseurs distincts a et b, l'un simple, et l'autre triple (n=ab^3, et nombre total de diviseurs 2*4)
Quelques essais à faire selon la valeur de a par rapport à b, b^2 et b^3

[midorima]

bonjour
merci pour ta reponse
mais je ne suis toujours pas parvenu a resoudre l'exercice
dans le cas ou il y a a,b,c
1/ ab<c
avec l'equation donne j'obtien
a(2c-b²)=3
comme les 2 produits sont des entiers et que 3 et un nombre premier
j'en deduis que l'un des produits est 3 et l'autre 1
comme a=d2>d1=1
donc a=3 et 2c-b²=1
j'ai donc
d1=1, d2=3, d3=b, d4=3b, d5=c, d6=3c ,d7=bc, d8=3bc
mais je n'ai pa pu trouver b et c
je sais juste qu'ils sont impairs

2/ab>c
j'obtiens
b(2a²-c)=3
de meme j'obtiens
b=3 et 2a²-c=1
donc j'ai d1=1 et d3=3
comme d1<d2<d3 et d2 est un entier
donc d2=2
mais en remplacant dans l'equation j'obtiens que c=7 et ab=6
ce qui est impossible puisque dans ce cas nous avons pris ab>c
donc ab<c

mais dans ce cas je n'ai pas trouver b et c

maintenant dans le cas ou il y a a et b
je demande un peu plus d'explication
parceque il y a vraiment beaucoup de possibilite
et pourquoi n=ab³ ?
il se peut que se soit a²b²
je veux etre sur d'avoir compris pourquoi

merci d'avance

[ansset]

dans le cas ou il y a a,b,c
1/ ab<c
donc a=3 et 2c-b²=1
j'ai donc
d1=1, d2=3, d3=b, d4=3b, d5=c, d6=3c ,d7=bc, d8=3bc
mais je n'ai pa pu trouver b et c
je sais juste qu'ils sont impairs (*)

dans ce cas, il te reste l'équation
2c-b²=1 soit c=(1+b²)/2
avec b impair.
c existe qcq soit b impair.
(*) ici ( pour ab<c) rien n'implique que c soit impair.
( tu avais montré d3 et d4 impair soit b et 3b )
donc dans ce cas là il ne reste qu'un paramètre qui peut prendre toutes les valeurs : b impair >3 )

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

il se peut que se soit a²b²

non car avec a²b² tu peux former 9 diviseurs et non 8.

[ansset]

ps complément du post précédent : il est nécessaire mais facile de montrer que c=(1+b²)/2 > b

[midorima]

Rebonjour
Merci anset et jcknicklaus pour vos réponses

Ansset,
Comme 2c-b²=1
2c=b²+1
Donc c =(1+b²)/2

La on sait juste que b impair >3
Est ce que je dois essayé avec des nombres impairs et voir
Ou ab<c ? Si oui ou est ce que je dois m'arrête
Et a, b, c ne devraient pas être premiers ?

[ansset]

Ansset,
Comme 2c-b²=1
2c=b²+1
Donc c =(1+b²)/2

La on sait juste que b impair >3
Est ce que je dois essayé avec des nombres impairs et voir
Ou ab<c ? Si oui ou est ce que je dois m'arrête
Et a, b, c ne devraient pas être premiers ?

si il faut le vérifier , ab<c <=> 3b<(b²+1)/2 ce qui entraîne b>5 donc c'est OK
Et tu fais bien de rappeler que b et c doivent être premiers ( a=3 premier ) soit
b premier , et (1+b²)/2 aussi .
je ne pense pas possible de les lister.
par exemple si b=7 c=25 non premier donc solution non valable.
si b=11 c=61 premier.

[midorima]

Et pour le deuxième cas
J'ai pu distingué deux cas :
En mettant a<b
On a
1=d1<a<b<ab<b²<ab²<b³<ab³=d8
Et avec l'équation on a
ab²=3
Ce qui est impossible parceque cela voudra dire que a ou b sont egaux a 1

Donc j'ai changer et mis a exposant et non b
Mais il y a encore deux cas
1/ a²>b
1=d1<a<b<a²<ab<a³<a²b<a³b=d8
Ce qui nous donnent la meme chose que le premierr cas

Et quand a²<b
On a 1=d1<a<a²<b<a³<ab<a²b<a³b=d8
Et avec l'équation
On 2a⁴=a²b+3
Or a²(2a²-b²)=3
Ce qui est impossible

Suis je faux ?
Merci

[Resartus]

Bonjour,
1) Je m'aperçois que j'avais oublié le cas où n=a^7 ce qui donne aussi 8 diviseurs. Cela donne une solution.

2) concernant le cas c>ab et l'équation c=(b²+1)/2, il faut en effet que c soit premier. Une première recherche des premiers inférieurs à 50000 donne les valeurs suivantes pour b et c :
11 61
19 181
29 421
59 1741
61 1861
71 2521
79 3121
101 5101
131 8581
139 9661
181 16381
199 19801
271 36721

A part le fait que les c solutions finissent toujours par 1, je ne vois pas de méthode évidente pour trouver toutes les solutions.
Pourrait-on savoir dans quel contexte ce problème vous a été posé? Car cela semble très loin du niveau lycée...

[midorima]

Ansset,
Donc il faut tester tous le nombres impairs et premiers
Et tu ne pense pas que ce soit possible
Donc cemment faire
Puisque l'exercuce a demandé tous les n

Ps: j'ai dis tout a l'heure que c est impair parcequ'il est premier

[midorima]

Et c'est une olympiades pour lycéen

[ansset]

Suis je faux ?
Merci

non, même s'il y a plus court pour éliminer la l'hypothèse (a^3)b.
donc il ne reste que le cas 1/
car le cas 2/ est sans solution comme le cas a(b^3)

[ansset]

j'ai dit, "je ne pense pas" ( pour lister les solutions ), mais il faut peut être creuser ( pas du tout évident ).

[midorima]

Je ne sais pas si ce que je vais dire est idiot
Mais
Pour les valeurs de c
Je remarque
181=60*3+1
421=60*7+1
1741=60*29+1
1861=60*31+1
2521=60*42+1
3121=60*52+1
5101=60*85+1

[midorima]

et pour le cas de a⁷
c'est aussi impossible
puisque on trouve a⁵=3

[ansset]

Je ne sais pas si ce que je vais dire est idiot
Mais
Pour les valeurs de c
Je remarque
181=60*3+1
421=60*7+1
1741=60*29+1
1861=60*31+1
2521=60*42+1
3121=60*52+1
5101=60*85+1

oui, mais après ça marche plus.
je cherche aussi une conjecture

[Resartus]

Voici la liste des solutions jusqu'à b=1901 :
http://oeis.org/search?q=A048161&sor...lish&go=Search

Il ne semble pas qu'il existe une formule explicite. C'est quand même étonnant, s'agissant d'une question d'olympiade.
Savez-vous si une solution "officielle" a été (ou sera) fournie?

[midorima]

non, a mon grand regret il n y a pas eu de correction
et merci comme meme pour vos reponse