Bonjour, j'ai un petit problème avec cette question :
Si f est continue sur ]0;3[ alors f majorée sur [ 1 ; 2 [ ?
La réponse est : toujours vrai
Mon raisonnement :
Si f est continue sur ]0;3[ alors f continue sur [1;2]
Don selon le thrm des bornes atteintes il existe une valeur maximale et une valeur minimale de f sur [1;2]
Mais comme dans l'énoncé on nous dit pour [1;2[ la fonction n'est pas borné fermé donc elle n'est pas obligatoirement majorée non ?
tu es sur que l'énoncé précise bien cet intervalle là ou tout simplement l'intervalle initial ]0;3[ ?Envoyé par biking
Si ta fonction est majorée sur [1,2], alors il existe une constante M telle que quelque soit x dans [1,2], f(x) < M
Donc, en particulier, quelque soit x dans [1,2[, f(x) < M, donc f est bien majorée sur [1,2[
Par contre, f n'a pas forcément de maximum sur [1,2[ !
La fonction est aussi minorée donc si je reprends votre déduction je pourrais aussi dire que la fonction est minorée sur [1;2[
En fait je n'arrive pas a comprendre pourquoi si une fonction est bornée sur l'intervalle [1;2] elle le sera aussi sur l'intervalle [1;2[, f aurait pu être majorée Ã* partir de 2 non ?
Tu relis la définition du cours pour "majorée" ou ce qu'a écrit Tryss2 et tu regardes si ce que tu écris à du sens. En gros, comment une fonction pourrait être toujours inférieure à une certaine valeur sur un intervalle mais dépasser n'importe quelle valeur sur un sous-intervalle ? La contradiction est évidente.
Je pense avoir a peu près compris :
En gros selon le théorème,
E est dit majoré s'il existe un élément M tel que tout élément x de E soit inférieur ou égal à M.
Donc ici avec notre énoncé on sait que f est bornée ( donc majo et mino) sur [1;2]
Si c'est major sur [1;2] ça veut dire que pour toutes les valeurs comprises entre 1 et 2 compris x sera plus petit ou égale a M
Du coup sur l'intervalle [1;2[ vu qu'il est encore plus restreint ça sera d'office plus petit ou égale a M donc d'office majorée. Mon raisonnement est bon ?
Oui,
pourquoi en douter ? C'est justement cette réflexion-là, cette compréhension de ce dont il s'agit, qui te manquait jusque là.
Cordialement.
mon premier post était sans intérêt, en revanche la réponse de Tryss est importante.
il y a une distinction à faire entre "majorée" et "atteint son maximum".
sur un intervalle fermé , une fonction continue est bornée, fermée ET atteint son maximum.
sur un intervalle ouvert inclus dans le premier , elle reste bornée , mais pas forcément fermée.
ex f(x)=x sur l'intervalle [0;1[ est majorée par 1 mais n'a pas de "maximum".
