DM 1ereS sur les suites

[invite1d713390]

Bonjour !

Donc voilà je vais faire simple j'ai un DM à faire pendant les vacances et j'aimerais juste une petite aide sur une méthode et une petite revérification quant à ce que j'ai trouvé

Énoncé :
Exercice 1 :
Bof c'est du classique, calculer u₁ u₂ et u₃ en ayant u₀ et u_n+1 et une représentation graphique donc peu importe.

Exercice 2 :
La suite (u_n) est définie pour tout entier naturel n par un = n³ - 2n² + 5n -3.
Étudier les variations de (u_n)

Exercice 3 :
La suite (un) est définie pour tout entier naturel n ⩾ 1 par la relation : U_n+1 = 2un / n et u₁ = 2
On admettra que pour tout entier naturel n ⩾ 1, u_n > 0
Etudier les variations de la suite (U_n)

Ce que j'ai fait :

Exercice 2 :
J'ai définie la fonction f x³ - 2x² +5x -3 sur [0 ; +∞[ est ce que cet intervalle est correct vu que la finalité concerne une suite ?
Ensuite je l'ai dérivée ce qui me donne f'(x) = 3x² - 4x + 5, j'ai ensuite calculé delta qui est négatif et dressé le tableau de signe comme quoi f'(x) est donc positif et f(x) est croissant (et donc par extension Un aussi)

Exercice 3 :
Alors là j'ai un petit blocage ;_;
Du coup la méthode que l'on a toujours fait était de calculer U_n+1 - U_n or je n'ai pas Un en tant que tel, du coup je me demandais, il fallait donc que je calcule u₂ (ce qui donne 4) puis que je le soustrait à u₁ ce qui me donnerait 2 et que donc la suite serait croissante ?

Merci de l'aide en tout cas, bonne journée (ou soirée... !).
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[pallas]

revois le calcul de u2=, 2u1/2 puis de u3 et u4

[jacknicklaus]

Du coup la méthode que l'on a toujours fait était de calculer U_n+1 - U_n or je n'ai pas Un en tant que tel

Oui, mais la méthode U_n+1 - U_n marche quand même, elle est juste un peu plus délicate.

- commence par montrer U_n >=0 pour tout n
- calcule U_n+1 - U_n sous la forme U_n.f(n)
- étudie le signe de f(n) sur n >= 1
- conclusion sur le signe de U_n.f(n) donc de U_n+1 - U_n

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...), du coup je me demandais, il fallait donc que je calcule u₂ (ce qui donne 4) puis que je le soustrait à u₁ ce qui me donnerait 2 et que donc la suite serait croissante ?

Tu arriverais à conclure à la croissance d'une suite uniquement en comparant et ??!

Et que se passe t-il entre et , ... entre et , ... entre et ???


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Exercice 3 :
Alors là j'ai un petit blocage ;_;
Du coup la méthode que l'on a toujours fait était de calculer U_n+1 - U_n or je n'ai pas Un en tant que tel, du coup je me demandais, il fallait donc que je calcule u₂ (ce qui donne 4) puis que je le soustrait à u₁ ce qui me donnerait 2 et que donc la suite serait croissante ?

Merci de l'aide en tout cas, bonne journée (ou soirée... !).

ce n'est pas la seule approche.
on fait aussi souvent appel à U(n+1)/U(n) pour voir l'évolution d'une suite.
et ici , on déduit vite U(n) par rapport à U(1)

[PlaneteF]

ce n'est pas la seule approche.
on fait aussi souvent appel à U(n+1)/U(n) pour voir l'évolution d'une suite.

Mouais, je n'ai jamais compris la valeur ajoutée de présenter les choses comme cela, au contraire même, je pense que pour des débutants il y a le risque d'oublier ou de passer au travers du fait que le signe de intervient.

Alors que le bon vieux qui peux s'écrire au besoin fait bien apparaître explicitement que le signe de compte. Et puis il n'y a rien de plus "sain" que de présenter les choses avec une bonne petite factorisation des familles

Cordialement

[invite51d17075]

Certes, mais débutant ou pas, on suppose qu'il a lu l'énoncé.

Exercice 3 :
La suite (un) est définie pour tout entier naturel n ⩾ 1 par la relation : U_n+1 = 2un / n et u₁ = 2
On admettra que pour tout entier naturel n ⩾ 1, u_n > 0
Etudier les variations de la suite (U_n)
.

[invite1d713390]

revois le calcul de u2=, 2u1/2 puis de u3 et u4

J'avoue pas trop comprendre pour le coup, je cherche u2 en ayant u1 du coup ça donnerait plutôt 2x2 (sachant que u1 = 2) / 1 (sachant que l'indice de u1 est 1) ? Ou alors je n'ai rien compris

Bonsoir,



Tu arriverais à conclure à la croissance d'une suite uniquement en comparant et ??!

Et que se passe t-il entre et , ... entre et , ... entre et ???


Cordialement

My bad en effet, j'ai voulu aller trop vite ce n'est effectivement pas logique étant donné que pour trouver le sens de variation il me faut un généralité.

Oui, mais la méthode U_n+1 - U_n marche quand même, elle est juste un peu plus délicate.

- commence par montrer U_n >=0 pour tout n
- calcule U_n+1 - U_n sous la forme U_n.f(n)
- étudie le signe de f(n) sur n >= 1
- conclusion sur le signe de U_n.f(n) donc de U_n+1 - U_n

Je vois,
du coup pour montrer que U_n >=0 pour tout n ça donnerait
Un+1 = 2un/n
Un+1 = 2/n x Un
(je retourne dans l'autre sens pour que ce soit plus clair) Un = Un+1 / 2/n soit Un = Un+1 x n/2 (je préfère garder ça en multiplication, ça m'aide à m'y retrouver)
Et dans ce cas-là sachant que Un > 0 comme dit dans l'énoncé et que n est supérieur ou égal à 0 , Un >=0.
Ou alors je me dirige encore dans la mauvaise direction.
Sinon je n'ai pas très bien compris "- calcule Un+1 - Un sous la forme Un.f(n)", tu peux être un peu plus explicite.

ce n'est pas la seule approche.
on fait aussi souvent appel à U(n+1)/U(n) pour voir l'évolution d'une suite.
et ici , on déduit vite U(n) par rapport à U(1)

Je vois en effet, mais je ne pense pas que ce soit la méthode étant donné que l'on a jamais vu cette méthode et la plupart des DM que notre professeur nous donne traite de méthodes vues en classe, mais bon c'est intéréssant à savoir merci !

Mouais, je n'ai jamais compris la valeur ajoutée de présenter les choses comme cela, au contraire même, je pense que pour des débutants il y a le risque d'oublier ou de passer au travers du fait que le signe de intervient.

Alors que le bon vieux qui peux s'écrire au besoin fait bien apparaître explicitement que le signe de compte. Et puis il n'y a rien de plus "sain" que de présenter les choses avec une bonne petite factorisation des familles

Cordialement

En effet, moi et les signes une véritable histoire d'amour haha.

En tout cas merci pour les réponses !

[invite51d17075]

Je vois en effet, mais je ne pense pas que ce soit la méthode étant donné que l'on a jamais vu cette méthode et la plupart des DM que notre professeur nous donne traite de méthodes vues en classe, mais bon c'est intéréssant à savoir merci !

comme tu le sens.
sinon :

Sinon je n'ai pas très bien compris "- calcule Un+1 - Un sous la forme Un.f(n)", tu peux être un peu plus explicite.

U(n+1)=2U(n)/n=U(n)*(2/n)
U(n+1)-U(n)=U(n)*(2/n) -U(n)
U(n+1)-U(n)=U(n)*((2/n)-1)
U(n+1)-U(n)=U(n)*(2-n)/n

[PlaneteF]

Bonjour,

Certes, mais débutant ou pas, on suppose qu'il a lu l'énoncé.

Mon propos était plus général que cet exercice, notamment avec ceci :

Et puis il n'y a rien de plus "sain" que de présenter les choses avec une bonne petite factorisation des familles

Cordialement

[invite1d713390]

comme tu le sens.
sinon :

U(n+1)=2U(n)/n=U(n)*(2/n)
U(n+1)-U(n)=U(n)*(2/n) -U(n)
U(n+1)-U(n)=U(n)*((2/n)-1)
U(n+1)-U(n)=U(n)*(2-n)/n

Très bien, j'aurais préféré des explications mais je pense avoir compris, je note tout de même la méthode j'ai un DS qui m'attend bientôt
Du coup, dans ce cas là sachant que U_n est positif et que (2-n)/n également sachant que n >= 1 est précisé dans l'énoncé (et qu'il y a de toute façon une division donc 0 est exclu de base). Donc de ce fait Un+1 - Un est positif donc la suite (Un) est croissante.
C'est ok ou alors j'ai oublié une étape ou n'importe ?

[invite51d17075]

Non, elle n'est pas croissante dès n>2 .
deux manière de voir
U(n+1)-U(n)=U(n)*(2-n)/n
U(n) est >0
pour n =1 ; (2-1)/1 =1 ; U(2)-U(1)=U(1) ; U(2)=4
pour n=2 ; (2-2)/2=0 ; U(3)=U(2)=4
et pour tout n>2 (2-n)/n est <0 donc U(n+1)-U(n)<0

autre façon plus directe, même si Planete "n aime pas" .
U(n+1)/U(n)=2/n qui est <1 dès que n > 2.

On en déduit d'ailleurs la nature exacte de la suite.
U(n)=U(n-1)*(2/(n-1))
U(n)=U(n-2)!(2²/((n-1)(n-2))
U(n)=U1*(2^(n-1))/(n-1)!)

[invite1d713390]

Non, elle n'est pas croissante dès n>2 .
deux manière de voir
U(n+1)-U(n)=U(n)*(2-n)/n
U(n) est >0
pour n =1 ; (2-1)/1 =1 ; U(2)-U(1)=U(1) ; U(2)=4
pour n=2 ; (2-2)/2=0 ; U(3)=U(2)=4
et pour tout n>2 (2-n)/n est <0 donc U(n+1)-U(n)<0

autre façon plus directe, même si Planete "n aime pas" .
U(n+1)/U(n)=2/n qui est <1 dès que n > 2.

On en déduit d'ailleurs la nature exacte de la suite.
U(n)=U(n-1)*(2/(n-1))
U(n)=U(n-2)!(2²/((n-1)(n-2))
U(n)=U1*(2^(n-1))/(n-1)!)

C'est bon j'ai enfin compris et oui c'est logique encore une fois je manque de rigueur...Bon prendre mon temps pour bien regarder un terme en entier je note, au départ j'étais pas assez général, maintenant je le suis et trop et je ne prends pas la peine d'être minutieux .
Du coup sur [1;2] la suite (Un) est décroissante et sur ]2 ; +∞[ la suite est décroissante.
Bon et bien si c'est tout, merci d'avoir pris le temps de me répondre et de m'aider, bonne journée à vous !