Exercice de "Comment penser comme un mathématicien ?"

[invitee3037389]

Bonjours à tous !

En prévision de ma dernière année de lycée et de futures études dans le domaine technique, je profite de mes vacances pour lire le livre "Comment penser comme un mathématicien ?" de Kevin Houston. Je conseille d'ailleurs ce livre qui est très bien pour apprendre à lire ou écrire des mathématiques, résoudre un problème, ou les différentes méthodes de démonstrations.

Tout au long du livre se trouvent des exercices à faire, parfois très faciles et d'autres nettement plus difficile selon moi. Malheureusement, il y a des exercices, mais pas de solutions ! J'en ai plusieurs qui me posent problème, je me permets donc d'en poster déjà un.

Soit f(x) = 1/(1-x). Soit la fonction f^r définie par f^r(x) = f(f(f(...f(x)))) (r fois)
Trouver f⁶⁵³(56)

J'ai déjà travaillé un peu dessus, et en essayant de calculer jusqu'à f³ pour x=3 et pour x=56, je me rends compte que pour f³, je retombe sur x. Pour moi la réponse serait donc de faire 653/3 = 217 reste 2. Ainsi, comme j'ai calculé f¹ et f², je sais que f⁶⁵³(56) = f²(56) = 55/56

Je ne suis déjà pas très sûre de cette réponse, mais la deuxième chose est que je ne trouve pas comment la formuler de façon claire, comme j'essaie de l'apprendre avec le livre justement

Donc si quelqu'un peut me donner un avis sur cette réponse ou une autre façon de résoudre et la manière de la formuler, cela m'arrangerait bien !

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux rédiger une démonstration en utilisant 3 étapes :
* démontrer que f(f(f(x)))=x (sauf pour certaines valeurs de x)
* en posant g(x)=f(f(f(x))) écrire f⁶⁵³(x) à partir de g et f² (en utilisant ta remarque)
* En conclure que, sauf pour certaines valeurs de x, f⁶⁵³=f², puis terminer.

Je te laisse le choix des outils (méthodes, définition et théorèmes) pour justifier.

Cordialement.

[invitee3037389]

Merci beaucoup c'est exactement le coup de pouce qu'il me fallait ! Mais en fait, après avoir lu ta démarche ça me paraît évident.. Il y a encore du travail avec ce bouquin !

[invitee3037389]

La première étape ne me pose aucun problème, par contre encore une question, est-il correct d'écrire que f⁶⁵³(x) = 217g(x)+f²(x) ?
Ou serait-il mieux d'utiliser une composition de fonctions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ah non, ce n'est pas correct !

C'est 653=217*3+2 où il y a un +. Regarde de que ça donne pour f⁶⁵³=f^3*217+2.

N'importe comment 217g(56)+f²(56)=217*56+f²(56) ne vaut pas f²(56) comme tu le disais au début.

La démonstration mathématique c'est simple : A chaque étape on applique les règles (g=fofof est une règle ici) et on ne fait rien d'autre.

Cordialement.

[invitee3037389]

Ah mais oui je ne sais pas ce qui m'a pris, j'ai fait comme s'il ne s'agissait pas de fonctions mais juste de nombres...

J'ai cette fois réussi à écrire une réponse qui me paraît plus ou moins claire, je vous remercie des conseils !